В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , AB = 10 , sin ( B ) = √ 5 3 . Найдите BC .
Чтобы решить задачу, давайте разберемся с условиями. У нас есть треугольник \(ABC\) с прямым углом в \(C\), где длина стороны \(AB = 10\) и значение \( \sin(B) = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Нам нужно найти длину стороны \(BC\).
Используем определение синуса: В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае: \[ \sin(B) = \frac{BC}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{BC}{10} \]
Решаем уравнение для \(BC\): Чтобы найти \(BC\), умножим обе стороны на \(10\): \[ BC = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{10\sqrt{5}}{3} \]
Таким образом, длина стороны \(BC\) равна \( \frac{10\sqrt{5}}{3}\).
Возможная проверка: Если мы хотим убедиться в правильности решения, можем использовать теорему Пифагора. У нас уже есть длина гипотенузы \(AB\) и мы можем найти \(AC\) через \( \cos(B) \):
Сначала найдем \( \cos(B) \) из тригонометрической идентичности: \[ \sin^2(B) + \cos^2(B) = 1 \] Подставим известное значение: \[ \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 + \cos^2(B) = 1 \] \[ \frac{5}{9} + \cos^2(B) = 1 \] \[ \cos^2(B) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \] Таким образом, \( \cos(B) = \frac{2}{3} \).
Теперь можем найти сторону \(AC\): \[ AC = AB \cdot \cos(B) = 10 \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \]
Проверка через теорему Пифагора: По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ 10^2 = \left(\frac{20}{3}\right)^2 + \left(\frac{10\sqrt{5}}{3}\right)^2 \] Разберем каждую часть: \[ 100 = \frac{400}{9} + \frac{500}{9} \] \[ 100 = \frac{900}{9} = 100 \]
Все уравнения верны, и мы пришли к правильному ответу.
Таким образом, длина стороны \(BC\) равна: \[ BC = \frac{10\sqrt{5}}{3} \]
Обсуждение
2 сообщенияВысота равнобедренного треугольника равна 66 , 8 . Боковая сторона меньше основания на 16 , 7 . Найдите боковую сторону этого треугольника.
Обозначим основание равнобедренного треугольника как \( a \), а боковую сторону как \( b \). Из условия задачи известно, что:
- Высота \( h = 66.8 \).
- Боковая сторона меньше основания на \( 16.7 \), то есть: \[ b = a - 16.7 \]
Теперь мы можем воспользоваться свойствами треугольника. Высота делит основание пополам, и мы можем использовать теорему Пифагора в правом треугольнике, образованном высотой и половиной основания.
Сначала найдем половину основания: \[ \frac{a}{2} \]
По теореме Пифагора: \[ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] Подставим известные значения: \[ b^2 = 66.8^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Теперь подставим \( b = a - 16.7 \) в уравнение: \[ (a - 16.7)^2 = 66.8^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Теперь упростим это уравнение: \[ (a - 16.7)^2 = 66.8^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Раскроем левую часть уравнения: \[ a^2 - 2 \cdot 16.7 a + 16.7^2 = 66.8^2 + \frac{a^2}{4} \]
Теперь подставим значения: \[ 16.7^2 = 278.89 \] \[ 66.8^2 = 4464.64 \]
Таким образом у нас становится: \[ a^2 - 33.4 a + 278.89 = 4464.64 + \frac{a^2}{4} \]
Переносим все в одну сторону: \[ a^2 - 33.4 a + 278.89 - 4464.64 - \frac{a^2}{4} = 0 \]
Умножим все на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ 4a^2 - 133.6a + 1115.56 - a^2 = 0 \]
Объединим: \[ 3a^2 - 133.6a - 1115.56 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 3 \), \( b = -133.6 \) и \( c = -1115.56 \).
Итак, \[ D = (-133.6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1115.56) \] \[ D = 17853.76 + 13386.72 = 31240.48 \]
Теперь вычислим \( a \): \[ a = \frac{133.6 \pm \sqrt{31240.48}}{6} \] Вычислим \( \sqrt{31240.48} \approx 176.7 \): \[ a = \frac{133.6 \pm 176.7}{6} \]
Теперь у нас два значения:
- \( a = \frac{310.3}{6} \approx 51.72 \)
- \( a = \frac{-43.1}{6} \) (отрицательное значение не принимаем)
Теперь найдем \( b \): \[ b = a - 16.7 \approx 51.72 - 16.7 \approx 35.02 \]
Итак, боковая сторона треугольника равна примерно: \[ \boxed{35.02} \]
