В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , AB = 10 , sin ( B ) = √ 5 3 . Найдите BC .

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с условиями. У нас есть треугольник \(ABC\) с прямым углом в \(C\), где длина стороны \(AB = 10\) и значение \( \sin(B) = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Нам нужно найти длину стороны \(BC\). 1. **Используем определение синуса:** В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае: \[ \sin(B) = \frac{BC}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{BC}{10} \] 2. **Решаем уравнение для \(BC\):** Чтобы найти \(BC\), умножим обе стороны на \(10\): \[ BC = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{10\sqrt{5}}{3} \] Таким образом, длина стороны \(BC\) равна \( \frac{10\sqrt{5}}{3}\). 3. **Возможная проверка:** Если мы хотим убедиться в правильности решения, можем использовать теорему Пифагора. У нас уже есть длина гипотенузы \(AB\) и мы можем найти \(AC\) через \( \cos(B) \): Сначала найдем \( \cos(B) \) из тригонометрической идентичности: \[ \sin^2(B) + \cos^2(B) = 1 \] Подставим известное значение: \[ \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 + \cos^2(B) = 1 \] \[ \frac{5}{9} + \cos^2(B) = 1 \] \[ \cos^2(B) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \] Таким образом, \( \cos(B) = \frac{2}{3} \). Теперь можем найти сторону \(AC\): \[ AC = AB \cdot \cos(B) = 10 \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \] 4. **Проверка через теорему Пифагора:** По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ 10^2 = \left(\frac{20}{3}\right)^2 + \left(\frac{10\sqrt{5}}{3}\right)^2 \] Разберем каждую часть: \[ 100 = \frac{400}{9} + \frac{500}{9} \] \[ 100 = \frac{900}{9} = 100 \] Все уравнения верны, и мы пришли к правильному ответу. Таким образом, длина стороны \(BC\) равна: \[ BC = \frac{10\sqrt{5}}{3} \]