Давайте решим обе задачи по шагам.
Задача 1: Найти координаты начальной точки вектора
Дано:
- Вектор ( \overrightarrow{AB} ) с координатами конечной точки ( B(-7, 1) ) и длиной вектора ( \overrightarrow{AB} = (8, -7) ).
Необходимое:
Определить координаты начальной точки ( A(x_A, y_A) ).
Решение:
По определению вектора, он выражается как разность координат конечной и начальной точек:
[
\overrightarrow{AB} = B - A
]
Поэтому, можем записать:
[
\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)
]
где ( B(-7, 1) ).
Подставим координаты точки ( B ) и вектор ( \overrightarrow{AB} ):
[
(8, -7) = (-7 - x_A, 1 - y_A)
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- (-7 - x_A = 8)
- (1 - y_A = -7)
Решим первое уравнение:
[
-7 - x_A = 8 \Rightarrow -x_A = 8 + 7 \Rightarrow -x_A = 15 \Rightarrow x_A = -15
]
Теперь решим второе уравнение:
[
1 - y_A = -7 \Rightarrow -y_A = -7 - 1 \Rightarrow -y_A = -8 \Rightarrow y_A = 8
]
Ответ:
Координаты начальной точки ( A ) составляют ( A(-15, 8) ).
Задача 2: Найти координаты конечной точки вектора
Дано:
- Начальная точка ( M(4, 3) ) и вектор ( \overrightarrow{MN} = (-5, 0) ).
Необходимое:
Определить конечную точку ( N(x_N, y_N) ).
Решение:
Аналогично, для нахождения конечной точки используем формулу:
[
\overrightarrow{MN} = N - M
]
Подставим:
[
(-5, 0) = (x_N - 4, y_N - 3)
]
Теперь у нас снова система уравнений:
- (x_N - 4 = -5)
- (y_N - 3 = 0)
Решим первое уравнение:
[
x_N - 4 = -5 \Rightarrow x_N = -5 + 4 \Rightarrow x_N = -1
]
Теперь решим второе уравнение:
[
y_N - 3 = 0 \Rightarrow y_N = 3
]
Ответ:
Координаты конечной точки ( N ) составляют ( N(-1, 3) ).
Надеюсь, теперь у вас есть полное понимание, как решать подобные задачи! Если есть дополнительные вопросы – спрашивайте!
