интеграл 1 и 3 (1-х) dx

Чтобы решить задачу, найдем интеграл функции \(1 - x\). Обозначим его следующим образом:

\[ I = \int (1 - x) \, dx \]

Теперь мы можем разделить интеграл на две части:

\[ I = \int 1 \, dx - \int x \, dx \]

Теперь решим каждый из интегралов по отдельности.

1. Первый интеграл:

\[ \int 1 \, dx = x + C_1 \]

где \(C_1\) — произвольная константа интегрирования.

2. Второй интеграл:

\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \]

где \(C_2\) — также произвольная константа интегрирования.

Теперь объединим полученные результаты, учитывая, что \(C = C_1 - C_2\) — новая произвольная константа:

\[ I = x - \frac{x^2}{2} + C \]

Таким образом, конечный ответ на интеграл будет:

\[ \int (1 - x) \, dx = x - \frac{x^2}{2} + C \]

Теперь, если требуется вычислить определенный интеграл на отрезке от 1 до 3:

\[ I = \int_{1}^{3} (1 - x) \, dx \]

Для этого воспользуемся ранее найденной формулой и подставим пределы интегрирования:

\[ = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} \]

Теперь подставим верхний предел (3):

\[ = \left(3 - \frac{3^2}{2}\right) = 3 - \frac{9}{2} = 3 - 4.5 = -1.5 \]

Теперь подставим нижний предел (1):

\[ = \left(1 - \frac{1^2}{2}\right) = 1 - 0.5 = 0.5 \]

Теперь найдем значение определенного интеграла:

\[ I = (-1.5) - (0.5) = -1.5 - 0.5 = -2 \]

Таким образом, значение интеграла от 1 до 3 функции \(1 - x\) равно:

\[ \int_{1}^{3} (1 - x) \, dx = -2 \]

Если есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!