В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AB проведена медиана CM. Найдите угол (в градусах) между прямыми CM и AB, если BC = 7,5 см, AB = 15 см.

Для решения задачи о нахождении угла между медианой CM и гипотенузой AB в прямоугольном треугольнике ABC, где BC = 7,5 см и AB = 15 см, следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Определение свойств треугольника В прямоугольном треугольнике ABC: - \(AB\) — гипотенуза, - \(AC\) и \(BC\) — катеты, - \(C\) — прямой угол. Мы знаем: - длину гипотенузы \(AB = 15\) см - длину одного из катетов \(BC = 7.5\) см ### Шаг 2: Находим другую сторону треугольника (катет AC) Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, можем использовать теорему Пифагора, которая говорит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставляем известные значения: \[ 15^2 = AC^2 + 7.5^2 \] Расчет: \[ 225 = AC^2 + 56.25 \] Теперь вычтем \(56.25\) из обеих сторон: \[ AC^2 = 225 - 56.25 = 168.75 \] Теперь находим \(AC\): \[ AC = \sqrt{168.75} \approx 12.99 \text{ см} \] ### Шаг 3: Находим координаты вершин треугольника Для удобства можно разместить треугольник в координатной плоскости: - \(A(0, 0)\) — точка на оси x, - \(B(15, 0)\) — гипотенуза, - \(C(0, 7.5)\) — вершина с прямым углом. ### Шаг 4: Находим координаты медианы CM Медиана CM соединяет вершину C с серединой отрезка AB. Находим середину отрезка AB: \[ M\left(\frac{0+15}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(7.5, 0\right) \] Теперь у нас есть точки: - \(C(0, 7.5)\) - \(M(7.5, 0)\) ### Шаг 5: Нахождение углов между CM и AB Сначала находим направление вектора CM: \[ \vec{CM} = M - C = (7.5 - 0, 0 - 7.5) = (7.5, -7.5) \] Вектор AB: \[ \vec{AB} = B - A = (15 - 0, 0 - 0) = (15, 0) \] ### Шаг 6: Вычисление угла между векторами Угол \(θ\) между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения: \[ \cos θ = \frac{\vec{CM} \cdot \vec{AB}}{|\vec{CM}| |\vec{AB}|} \] Найдем скалярное произведение: \[ \vec{CM} \cdot \vec{AB} = (7.5 \cdot 15) + (-7.5 \cdot 0) = 112.5 \] Теперь найдём длины векторов: \[ |\vec{CM}| = \sqrt{7.5^2 + (-7.5)^2} = \sqrt{56.25 + 56.25} = \sqrt{112.5} = 7.5\sqrt{2} \] \[ |\vec{AB}| = 15 \] Теперь снова подставим в формулу: \[ \cos θ = \frac{112.5}{(7.5\sqrt{2}) \cdot 15} = \frac{112.5}{112.5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] ### Шаг 7: Нахождение угла Теперь, зная, что \(\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), можно найти угол \(θ\): \[ θ = 45^\circ \] ### Ответ Угол между медианой CM и гипотенузой AB равен **45 градусов**.