В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AB проведена медиана CM. Найдите угол (в градусах) между прямыми CM и AB, если BC = 7,5 см, AB = 15 см.

Для решения задачи о нахождении угла между медианой CM и гипотенузой AB в прямоугольном треугольнике ABC, где BC = 7,5 см и AB = 15 см, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение свойств треугольника

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \(AB\) — гипотенуза,
• \(AC\) и \(BC\) — катеты,
• \(C\) — прямой угол.

Мы знаем:

• длину гипотенузы \(AB = 15\) см
• длину одного из катетов \(BC = 7.5\) см

Шаг 2: Находим другую сторону треугольника (катет AC)

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, можем использовать теорему Пифагора, которая говорит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 15^2 = AC^2 + 7.5^2 \]

Расчет:

\[ 225 = AC^2 + 56.25 \]

Теперь вычтем \(56.25\) из обеих сторон:

\[ AC^2 = 225 - 56.25 = 168.75 \]

Теперь находим \(AC\):

\[ AC = \sqrt{168.75} \approx 12.99 \text{ см} \]

Шаг 3: Находим координаты вершин треугольника

Для удобства можно разместить треугольник в координатной плоскости:

• \(A(0, 0)\) — точка на оси x,
• \(B(15, 0)\) — гипотенуза,
• \(C(0, 7.5)\) — вершина с прямым углом.

Шаг 4: Находим координаты медианы CM

Медиана CM соединяет вершину C с серединой отрезка AB. Находим середину отрезка AB:

\[ M\left(\frac{0+15}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(7.5, 0\right) \]

Теперь у нас есть точки:

• \(C(0, 7.5)\)
• \(M(7.5, 0)\)

Шаг 5: Нахождение углов между CM и AB

Сначала находим направление вектора CM:

\[ \vec{CM} = M - C = (7.5 - 0, 0 - 7.5) = (7.5, -7.5) \]

Вектор AB:

\[ \vec{AB} = B - A = (15 - 0, 0 - 0) = (15, 0) \]

Шаг 6: Вычисление угла между векторами

Угол \(θ\) между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

\[ \cos θ = \frac{\vec{CM} \cdot \vec{AB}}{|\vec{CM}| |\vec{AB}|} \]

Найдем скалярное произведение:

\[ \vec{CM} \cdot \vec{AB} = (7.5 \cdot 15) + (-7.5 \cdot 0) = 112.5 \]

Теперь найдём длины векторов:

\[ |\vec{CM}| = \sqrt{7.5^2 + (-7.5)^2} = \sqrt{56.25 + 56.25} = \sqrt{112.5} = 7.5\sqrt{2} \]

\[ |\vec{AB}| = 15 \]

Теперь снова подставим в формулу:

\[ \cos θ = \frac{112.5}{(7.5\sqrt{2}) \cdot 15} = \frac{112.5}{112.5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Шаг 7: Нахождение угла

Теперь, зная, что \(\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), можно найти угол \(θ\):

\[ θ = 45^\circ \]

Ответ

Угол между медианой CM и гипотенузой AB равен 45 градусов.