Cos t <_

Чтобы решить данные неравенства, рассмотрим каждое отдельно.

1. Неравенство \( \cos t \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Известно, что \(\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует углу \(t = \frac{\pi}{4}\) (или 45 градусов) и, из-за периодичности косинуса, также для углов типа \(t = 2k\pi \pm \frac{\pi}{4}\), где \(k\) — целое число.

График \(\cos t\) — это косинусоида с амплитудой 1. Все значения, при которых \(\cos t \leq \frac{\sqrt{2}}{2}\), лежат за пределами интервалов \((- \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{4} + 2k\pi)\).

Следовательно, решением будут интервалы:

\[ t \in [0, \frac{\pi}{4}] \, \cup [\frac{7\pi}{4}, 2\pi] \, \cup [2k\pi - \frac{3\pi}{4}, 2k\pi + \frac{3\pi}{4}], \, k \in \mathbb{Z}\]

2. Неравенство \( \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\(\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}\) соответствует углу \(t = \frac{\pi}{3}\) (или 60 градусов) и углам типа \(t = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\).

На графике синуса, \(\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}\) для интервалов между этими уголками:

\[ t \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right) + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\]

3. Неравенство \( \tan t \leq \sqrt{3} \)

\(\tan t = \sqrt{3}\) соответствует углу \(t = \frac{\pi}{3}\) и, из-за периодичности тангенса, также для всех углов типа \(t = \pi n + \frac{\pi}{3}\).

На графике тангенса, \(\tan t \leq \sqrt{3}\) в интервалах:

\[ t \in \left[n\pi - \frac{\pi}{3}, n\pi + \frac{\pi}{3}\right], \, n \in \mathbb{Z}\]

Это решение интервалов для каждого неравенства, основывающееся на тригонометрических свойствах.