В серии испытаний Бернулли проводится 13 испытаний. Найдите количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению числа успехов, кратных 5.
Для решения задачи о количестве элементарных событий в серии испытаний Бернулли, когда мы хотим определить количество успехов, кратных 5, давайте пройдемся по шагам.
Шаг 1: Понимание испытаний Бернулли
Испытание Бернулли — это эксперименты, в котором каждый эксперимент имеет только два возможных исхода: успех (обычно обозначается как "1") и провал (обозначается как "0"). В нашей задаче проводится 13 испытаний.
Шаг 2: Определение успехов
Интересует нас количество успехов, которые являются кратными 5. В данном случае, числом успешных исходов, которыми мы можем оперировать в 13 испытаниях, могут быть:
- 0 успехов (0)
- 5 успехов (5)
- 10 успехов (10)
Обозначим \( X \) — количество успехов в 13 испытаниях. Таким образом, нас интересуют значения \( X = 0, 5, 10 \).
Шаг 3: Формула для количества элементарных событий
Количество элементарных событий в испытаниях Бернулли можно рассчитать по формуле биномиального коэффициента:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 13);
- \( k \) — количество успехов.
Шаг 4: Вычисление для каждого случая
Теперь проведем арифметические вычисления для каждого случая (0, 5 и 10 успехов):
Для 0 успехов: \[ C(13, 0) = \frac{13!}{0!(13-0)!} = \frac{13!}{0! \cdot 13!} = 1 \]
Для 5 успехов: \[ C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1287 \]
Для 10 успехов: \[ C(13, 10) = C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286 \]
Шаг 5: Суммирование количества элементарных событий
Теперь сложим все найденные значения:
- Для 0 успехов: 1
- Для 5 успехов: 1287
- Для 10 успехов: 286
Общее количество элементарных событий равняется: \[ 1 + 1287 + 286 = 1574 \]
Ответ
Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению числа успехов, кратных 5, в 13 испытаниях Бернулли, составляет 1574.
