Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику, а именно формулу для вычисления количества сочетаний. Когда нам нужно выбрать (k) объектов из (n) без учета порядка, мы используем формулу сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
где:
- (n!) (факториал (n)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до (n).
- (k) — количество объектов, которые мы хотим выбрать.
- (n) — общее количество объектов.
В нашей задаче:
- (n = 20) (количество красок),
- (k = 5) (количество красок, которые нужно выбрать).
Теперь подставим значения в формулу:
[
C(20, 5) = \frac{20!}{5! \cdot (20 - 5)!}
]
Это можно упростить до:
[
C(20, 5) = \frac{20!}{5! \cdot 15!}
]
Теперь заметим, что (20!) можно разложить так:
[
20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!
]
Подставим это в нашу формулу:
[
C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{5! \cdot 15!}
]
Сократим на (15!):
[
C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5!}
]
Теперь нужно рассчитать (5!):
[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
]
Теперь подставим это значение:
[
C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{120}
]
Теперь вычислим числитель:
- (20 \times 19 = 380)
- (380 \times 18 = 6840)
- (6840 \times 17 = 116280)
- (116280 \times 16 = 1860480)
Теперь делим числитель на 120:
[
C(20, 5) = \frac{1860480}{120} = 15504
]
Таким образом, количество способов выбрать 5 красок из 20 равно 15504.
