Чтобы определить, в каких предложениях есть деепричастные обороты, нужно сначала вспомнить, что такое деепричастие и как оно используется в русском языке.
Деепричастие — это особая форма глагола, которая отвечает на вопросы "что делая?", "что сделав?", "что делая?", и обозначает дополнительное действие, которое происходит одновременно с основным действием в предложении. Деепричастный оборот во многом состоит из деепричастия и уточняющих его слов.
Теперь давайте проанализируем предложенные варианты:
Показавшись лишь на мгновение, он вновь скрылся от людских глаз.
Здесь "показавшись" — деепричастие. Оборот "Показавшись лишь на мгновение" указывает на действие, происходящее одновременно с основным действием "он вновь скрылся".
Заключение: Есть деепричастный оборот.Улыбаясь, он протянул мне письмо.
"Улыбаясь" — деепричастие, а оборот "Улыбаясь" указывает на то, что действие улыбки происходит одновременно с основным действием "протянул".
Заключение: Есть деепричастный оборот.Люди, оказавшиеся на необитаемом острове, потеряли веру.
Здесь "оказавшиеся" — причастие, а не деепричастие. Это действие описывает состояние людей.
Заключение: Нет деепричастного оборота.Сказав о сыне, она закрыла лицо руками.
"Сказав" — деепричастие, и здесь действие "сказав" происходит одновременно с действием "закрыла лицо".
Заключение: Есть деепричастный оборот.Оставшись наедине, мы смогли поговорить о случае, поразившем всех.
"Оставшись" — деепричастие, здесь также указывается на то, что действие "оставшись" происходит одновременно с действием "могли поговорить".
Заключение: Есть деепричастный оборот.Погрузившись в размышления, он замолчал на несколько часов.
"Погрузившись" — деепричастие. Оборот "Погрузившись в размышления" указывает на действие, происходящее одновременно с "замолчал".
Заключение: Есть деепричастный оборот.
Теперь подведем итоги — в следующих предложениях есть деепричастные обороты:
- Показавшись лишь на мгновение, он вновь скрылся от людских глаз.
- Улыбаясь, он протянул мне письмо.
- Сказав о сыне, она закрыла лицо руками.
- Оставшись наедине, мы смогли поговорить о случае, поразившем всех.
- Погрузившись в размышления, он замолчал на несколько часов.
Таким образом, правильные варианты: 1, 2, 4, 5, 6.