найти

Для решения задачи нам нужно найти значение выражения \( 20\sqrt{5} \cos a \), зная, что \( \sin a = \frac{\sqrt{5}}{5} \) и \( a \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \).

Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества

Основное тригонометрическое тождество утверждает: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим известное значение \(\sin a\) в это уравнение: \[ \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \]

Вычислим \(\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2\): \[ \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \]

Теперь подставим обратно: \[ \frac{1}{5} + \cos^2 a = 1 \]

Решим это уравнение для \(\cos^2 a\): \[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \]

Возьмем квадратный корень: \[ \cos a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Поскольку \( a \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \), то \(\cos a\) положительное.

Шаг 2: Нахождение выражения

Теперь подставим найденное значение \(\cos a\) в выражение \( 20\sqrt{5} \cos a \): \[ 20\sqrt{5} \times \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Упрощаем: \[ 20\sqrt{5} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = 20 \times 2 = 40 \]

Таким образом, значение выражения равно \( 40 \).