Давайте подробно решим вашу задачу, выразив векторы через ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ). У нас есть два вектора:
[
\mathbf{x} = 2\mathbf{m} + \mathbf{n}
]
[
\mathbf{y} = \mathbf{m} - 3\mathbf{n}
]
Теперь мы будем решать каждую часть отдельно.
a) Выразим ( 4\mathbf{x} - 2\mathbf{y} )
- Подставим значения для ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ):
[
4\mathbf{x} = 4(2\mathbf{m} + \mathbf{n}) = 8\mathbf{m} + 4\mathbf{n}
]
[
-2\mathbf{y} = -2(\mathbf{m} - 3\mathbf{n}) = -2\mathbf{m} + 6\mathbf{n}
]
- Сложим оба выражения:
[
4\mathbf{x} - 2\mathbf{y} = (8\mathbf{m} + 4\mathbf{n}) + (-2\mathbf{m} + 6\mathbf{n})
]
- Группируем подобные члены:
[
= (8\mathbf{m} - 2\mathbf{m}) + (4\mathbf{n} + 6\mathbf{n})
]
[
= 6\mathbf{m} + 10\mathbf{n}
]
Таким образом, результат для части а) будет:
[
4\mathbf{x} - 2\mathbf{y} = 6\mathbf{m} + 10\mathbf{n}
]
б) Выразим ( 3\mathbf{y} + \frac{1}{2}\mathbf{x} )
- Подставим значения для ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ):
[
3\mathbf{y} = 3(\mathbf{m} - 3\mathbf{n}) = 3\mathbf{m} - 9\mathbf{n}
]
[
\frac{1}{2}\mathbf{x} = \frac{1}{2}(2\mathbf{m} + \mathbf{n}) = \mathbf{m} + \frac{1}{2}\mathbf{n}
]
- Сложим оба выражения:
[
3\mathbf{y} + \frac{1}{2}\mathbf{x} = (3\mathbf{m} - 9\mathbf{n}) + (\mathbf{m} + \frac{1}{2}\mathbf{n})
]
- Группируем подобные члены:
[
= (3\mathbf{m} + \mathbf{m}) + (-9\mathbf{n} + \frac{1}{2}\mathbf{n})
]
[
= 4\mathbf{m} - \left(9 - \frac{1}{2}\right)\mathbf{n}
]
[
= 4\mathbf{m} - \frac{18}{2} \mathbf{n} + \frac{1}{2}\mathbf{n}
]
[
= 4\mathbf{m} - \frac{36 - 1}{2}\mathbf{n}
]
[
= 4\mathbf{m} - \frac{35}{2}\mathbf{n}
]
Таким образом, результат для части б) будет:
[
3\mathbf{y} + \frac{1}{2}\mathbf{x} = 4\mathbf{m} - \frac{35}{2}\mathbf{n}
]
Итог:
- a) ( 4\mathbf{x} - 2\mathbf{y} = 6\mathbf{m} + 10\mathbf{n} )
- б) ( 3\mathbf{y} + \frac{1}{2}\mathbf{x} = 4\mathbf{m} - \frac{35}{2}\mathbf{n} )
Если у вас есть еще вопросы или другие задачи, не стесняйтесь обращаться!
