В этом вопросе речь идет о старообрядчестве, известном движении в русском православии, возникшем в результате реформ патриарха Никона в XVII веке. Старообрядцы разделились на несколько направлений:
Беспоповство — направление старообрядчества, отвергающее священников после реформы Никона и считавшее, что истинные священники остались только в "допетровские" времена. Они проводят обряды и службы без священников.
Поповство — направление, которое признает священников и таинства. Поповцы считали возможным существование истинных священников и продолжали совершать традиционные обряды с участием священнослужителей.
Другие два термина, старчество и неоязычество, не связаны с основными течениями старообрядчества:
Старчество — это традиция в православии, связанная с духовным наставничеством, а не конкретно с старообрядчеством.
Неоязычество — относится к современным движениям, зачастую возрождающим древние языческие традиции, и не связано с старообрядчеством.
Таким образом, правильные ответы: беспоповство и поповство.