Найти площадь фигуры b=2 f(x)=5x-x^2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 5x - x^2 \) и осью \( x \), нужно выполнить несколько шагов. ### Шаг 1: Определение области интегрирования Начнем с графика функции, чтобы понять, где она пересекает ось \( x \). Для этого приравняем функцию к нулю и найдем корни: \[ f(x) = 5x - x^2 = 0 \] Это уравнение можно переписать как: \[ x^2 - 5x = 0 \] Вынесем общий множитель \( x \): \[ x(x - 5) = 0 \] Отсюда получаем два корня: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 5 \] Таким образом, функция \( f(x) \) пересекает ось \( x \) в точках 0 и 5. Это значит, что область, которую мы будем исследовать, находится между этими значениями. ### Шаг 2: Вычисление площади под графиком Чтобы найти площадь фигуры под графиком функции между \( x = 0 \) и \( x = 5 \), нам нужно вычислить определенный интеграл от функции \( f(x) \) на этом отрезке: \[ S = \int_{0}^{5} (5x - x^2) \, dx \] ### Шаг 3: Найти интеграл Теперь вычислим интеграл: 1. Найдем неопределенный интеграл функции \( f(x) \): \[ \int (5x - x^2) \, dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \] 2. Теперь подставим пределы интегрирования (от 0 до 5): \[ S = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} \] Подставим верхний предел (5): \[ = \frac{5 \cdot 5^2}{2} - \frac{5^3}{3} = \frac{5 \cdot 25}{2} - \frac{125}{3} \] \[ = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} \] Теперь найдем общий знаменатель, чтобы вычесть дроби. Общий знаменатель для 2 и 3 — 6: \[ = \frac{125 \cdot 3}{6} - \frac{125 \cdot 2}{6} = \frac{375}{6} - \frac{250}{6} = \frac{125}{6} \] Теперь подставим нижний предел (0): \[ = \left[ \frac{5 \cdot 0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right] = 0 \] ### Итоговая площадь Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) \) и осью \( x \), равна: \[ S = \frac{125}{6} \] ### Заключение Мы нашли и посчитали площадь фигуры под графиком функции \( f(x) = 5x - x^2 \) на отрезке от 0 до 5. Площадь составляет \( \frac{125}{6} \) квадратных единиц.