Найти площадь фигуры b=2 f(x)=5x-x^2
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 5x - x^2 \) и осью \( x \), нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Определение области интегрирования
Начнем с графика функции, чтобы понять, где она пересекает ось \( x \). Для этого приравняем функцию к нулю и найдем корни:
\[ f(x) = 5x - x^2 = 0 \]
Это уравнение можно переписать как:
\[ x^2 - 5x = 0 \]
Вынесем общий множитель \( x \):
\[ x(x - 5) = 0 \]
Отсюда получаем два корня:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 5 \]
Таким образом, функция \( f(x) \) пересекает ось \( x \) в точках 0 и 5. Это значит, что область, которую мы будем исследовать, находится между этими значениями.
Шаг 2: Вычисление площади под графиком
Чтобы найти площадь фигуры под графиком функции между \( x = 0 \) и \( x = 5 \), нам нужно вычислить определенный интеграл от функции \( f(x) \) на этом отрезке:
\[ S = \int_{0}^{5} (5x - x^2) \, dx \]
Шаг 3: Найти интеграл
Теперь вычислим интеграл:
- Найдем неопределенный интеграл функции \( f(x) \):
\[ \int (5x - x^2) \, dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \]
- Теперь подставим пределы интегрирования (от 0 до 5):
\[ S = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} \]
Подставим верхний предел (5):
\[ = \frac{5 \cdot 5^2}{2} - \frac{5^3}{3} = \frac{5 \cdot 25}{2} - \frac{125}{3} \] \[ = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} \]
Теперь найдем общий знаменатель, чтобы вычесть дроби. Общий знаменатель для 2 и 3 — 6:
\[ = \frac{125 \cdot 3}{6} - \frac{125 \cdot 2}{6} = \frac{375}{6} - \frac{250}{6} = \frac{125}{6} \]
Теперь подставим нижний предел (0):
\[ = \left[ \frac{5 \cdot 0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right] = 0 \]
Итоговая площадь
Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) \) и осью \( x \), равна:
\[ S = \frac{125}{6} \]
Заключение
Мы нашли и посчитали площадь фигуры под графиком функции \( f(x) = 5x - x^2 \) на отрезке от 0 до 5. Площадь составляет \( \frac{125}{6} \) квадратных единиц.
