Реши

Для того чтобы решить представленные задачи, воспользуемся методом сложения для уравнений и систем уравнений.

№1. Решите систему способом сложения.

a)

1. Дана система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ x^2 - y^2 = 9 \end{cases} \]

2. Сложим два уравнения: \[ (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 41 + 9 \] \[ 2x^2 = 50 \]

3. Найдем \(x^2\): \[ x^2 = 25 \]

4. Следовательно, \(x = 5\) или \(x = -5\).

5. Подставим \(x^2\) в одно из уравнений, например \(x^2 + y^2 = 41\): \[ 25 + y^2 = 41 \] \[ y^2 = 16 \] Следовательно, \(y = 4\) или \(y = -4\).

6. Получаем решения: \((x, y) = (5, 4), (5, -4), (-5, 4), (-5, -4)\).

b)

1. Дана система: \[ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

2. Сложим два уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = 7 + 1 \] \[ 2x = 8 \]

3. Найдем \(x\): \[ x = 4 \]

4. Подставим \(x\) в одно из уравнений, например \(x + y = 7\): \[ 4 + y = 7 \] \[ y = 3 \]

5. Получаем решение: \((x, y) = (4, 3)\).

c)

1. Дана система: \[ \begin{cases} x + y = 65 \\ x - 2y = 2 \end{cases} \]

2. Умножим второе уравнение на 1: \[ x - 2y = 2 \]

3. Сложим первое и изменённое второе уравнения: \[ (x + y) + (x - 2y) = 65 + 2 \] \[ 2x - y = 67 \]

4. Выразим \(x\) из первого уравнения: \[ x = 65 - y \]

5. Подставим в \(2x - y = 67\): \[ 2(65 - y) - y = 67 \] \[ 130 - 2y - y = 67 \] \[ 3y = 63 \] \[ y = 21 \]

6. Найдём \(x\): \[ x = 65 - 21 = 44 \]

7. Получаем решение: \((x, y) = (44, 21)\).

№2. Решите задачу с помощью системы уравнений.

Дано: сумма первого числа и удвоенного второго числа равна 10, а разность первого и утроенного второго числа равна 0. Нужно найти эти числа.

1. Обозначим первое число через \(x\), второе через \(y\).

2. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y = 10 \\ x - 3y = 0 \end{cases} \]

3. Из второго уравнения выразим \(x\): \[ x = 3y \]

4. Подставим в первое уравнение: \[ 3y + 2y = 10 \] \[ 5y = 10 \] \[ y = 2 \]

5. Найдём \(x\): \[ x = 3 \times 2 = 6 \]

6. Ответ: первое число 6, второе число 2.