площадь прямоугольника равна 120 см²,а диагональ его равна 17 см.Найдите стороны прямоугольника.решите способом системы уравнения
Чтобы найти стороны прямоугольника, зная его площадь и длину диагонали, мы можем использовать систему уравнений.
Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\).
Составим уравнения.
По условию задачи у нас есть два уравнения:Площадь:
\[ a \cdot b = 120 \]Длина диагонали (по теореме Пифагора):
\[ a^2 + b^2 = 17^2 = 289 \]
Из первого уравнения выразим одну из сторон.
Выразим \(b\) через \(a\): \[ b = \frac{120}{a} \]Подставим \(b\) во второе уравнение.
Мы подставим \(b\) из первого уравнения во второе: \[ a^2 + \left(\frac{120}{a}\right)^2 = 289 \] Раскроем квадрат: \[ a^2 + \frac{14400}{a^2} = 289 \]Умножим все на \(a^2\), чтобы избавиться от дроби.
Умножим на \(a^2\): \[ a^4 - 289a^2 + 14400 = 0 \]Обозначим \(x = a^2\).
Тогда уравнение примет вид: \[ x^2 - 289x + 14400 = 0 \]Решим квадратное уравнение.
Используем формулу discriminant: \[ D = b^2 - 4ac = (-289)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400 \] \[ D = 83521 - 57600 = 25921 \] \[ \sqrt{D} = 161 \] Теперь находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{289 + 161}{2} = 225 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{289 - 161}{2} = 64 \]Найдём \(a\) и \(b\).
Так как \(x = a^2\): \[ a^2 = 225 \Rightarrow a = 15 \quad \text{или} \quad a^2 = 64 \Rightarrow a = 8 \] Теперь найдем \(b\):- Если \(a = 15\): \[ b = \frac{120}{15} = 8 \]
- Если \(a = 8\): \[ b = \frac{120}{8} = 15 \]
Ответ.
Таким образом, стороны прямоугольника равны \(15 \, \text{см}\) и \(8 \, \text{см}\).
Мы проверили оба значения, и оба подходят. Это и есть стороны нашего прямоугольника.
