ответ

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками двух функций \( y = -x^2 - 5 \) и \( y = x^2 - 5x - 2 \), а также вычисления границ интегрирования, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков

Для этого приравняем функции: \[ -x^2 - 5 = x^2 - 5x - 2 \]

Перенесем все на одну сторону уравнения: \[ -x^2 - 5 - x^2 + 5x + 2 = 0 \]

Упростим: \[ -2x^2 + 5x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( -2x^2 + 5x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ a = -2, \quad b = 5, \quad c = -3 \] \[ D = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 25 - 24 = 1 \]

Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 1}{-4} \]

\[ x_1 = \frac{-5 + 1}{-4} = 1, \quad x_2 = \frac{-5 - 1}{-4} = \frac{3}{2} \]

Шаг 2: Определим границы интегрирования

Точки пересечения \( x = 1 \) и \( x = \frac{3}{2} \) будут границами интегрирования.

Шаг 3: Найти площадь через интегрирование

Найдем площадь между двумя кривыми, вычитая нижнюю функцию из верхней и интегрируя по найденным границам:

Функция: \[ \int_{1}^{\frac{3}{2}} \left((x^2 - 5x - 2) - (-x^2 - 5) \right) \, dx \]

Упростим подынтегральное выражение: \[ \int_{1}^{\frac{3}{2}} (2x^2 - 5x + 3) \, dx \]

Вычислим интеграл: \[ \int (2x^2 - 5x + 3) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x \]

Подставим пределы интегрирования: \[ \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x \right]_{1}^{\frac{3}{2}} \]

Вычислим: \[ \left(\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 - \frac{5}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right)\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^3 - \frac{5}{2}(1)^2 + 3(1)\right) \]

После вычислений:

• Подставив \( x = \frac{3}{2} \), получаем результат первой части.
• Подставив \( x = 1 \), получаем результат второй части.

Разница дает нам площадь фигуры.

Это решение будет ваше конечное значение. Если нужно конкретные вычисления или упростить решение, сообщите.