Lim x стремящийся к 5 5х-х²/25-х²

Чтобы найти предел функции \(\lim_{x \to 5} \frac{5x - x^2}{25 - x^2}\), давайте разберемся с задачей шаг за шагом. ### Шаг 1: Подстановка значения Для начала подставим \(x = 5\) в выражение: \[ \frac{5(5) - 5^2}{25 - 5^2} = \frac{25 - 25}{25 - 25} = \frac{0}{0} \] Мы получаем неопределенную форму \(\frac{0}{0}\). Это говорит о том, что нам нужно упростить выражение, чтобы найти предел. ### Шаг 2: Упрощение выражения Мы можем попробовать привести числитель и знаменатель к более простому виду. Начнем с числителя: \[ 5x - x^2 = -x^2 + 5x = - (x^2 - 5x) = -x(x - 5) \] Теперь рассмотрим знаменатель: \[ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) \] ### Шаг 3: Подстановка в предел Теперь подставим эти выражения в предел: \[ \lim_{x \to 5} \frac{-x(x - 5)}{(5 - x)(5 + x)} \] Обратите внимание, что \((5 - x) = -(x - 5)\). Таким образом, мы можем заменить \((5 - x)\): \[ \lim_{x \to 5} \frac{-x(x - 5)}{-(x - 5)(5 + x)} = \lim_{x \to 5} \frac{x}{5 + x} \] Теперь мы можем убрать множитель \((x - 5)\) из числителя и знаменателя, так как он не равен нулю, когда \(x\) стремится к 5. ### Шаг 4: Подстановка вновь Теперь подставим \(x = 5\) в получившуюся функцию: \[ \frac{5}{5 + 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] ### Ответ Таким образом, предел функции равен: \[ \lim_{x \to 5} \frac{5x - x^2}{25 - x^2} = \frac{1}{2} \] Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо прояснить какой-либо момент, не стесняйтесь спрашивать!