lim x стремящийся к 5 5х-х²/25-х²

Чтобы найти предел функции \(\lim_{x \to 5} \frac{5x - x^2}{25 - x^2}\), давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Шаг 1: Подстановка значения

Для начала подставим \(x = 5\) в выражение:

\[ \frac{5(5) - 5^2}{25 - 5^2} = \frac{25 - 25}{25 - 25} = \frac{0}{0} \]

Мы получаем неопределенную форму \(\frac{0}{0}\). Это говорит о том, что нам нужно упростить выражение, чтобы найти предел.

Шаг 2: Упрощение выражения

Мы можем попробовать привести числитель и знаменатель к более простому виду. Начнем с числителя:

\[ 5x - x^2 = -x^2 + 5x = - (x^2 - 5x) = -x(x - 5) \]

Теперь рассмотрим знаменатель:

\[ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) \]

Шаг 3: Подстановка в предел

Теперь подставим эти выражения в предел:

\[ \lim_{x \to 5} \frac{-x(x - 5)}{(5 - x)(5 + x)} \]

Обратите внимание, что \((5 - x) = -(x - 5)\). Таким образом, мы можем заменить \((5 - x)\):

\[ \lim_{x \to 5} \frac{-x(x - 5)}{-(x - 5)(5 + x)} = \lim_{x \to 5} \frac{x}{5 + x} \]

Теперь мы можем убрать множитель \((x - 5)\) из числителя и знаменателя, так как он не равен нулю, когда \(x\) стремится к 5.

Шаг 4: Подстановка вновь

Теперь подставим \(x = 5\) в получившуюся функцию:

\[ \frac{5}{5 + 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Ответ

Таким образом, предел функции равен:

\[ \lim_{x \to 5} \frac{5x - x^2}{25 - x^2} = \frac{1}{2} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо прояснить какой-либо момент, не стесняйтесь спрашивать!