Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
Условие задачи
У нас есть класс, в котором:
- N - общее количество учеников (мальчиков и девочек).
- Количество учеников больше 20, но меньше 35.
- Каждый мальчик дружит с 7 девочками.
- Каждая девочка дружит с 8 мальчиками.
Обозначения
Обозначим:
- M - количество мальчиков в классе.
- D - количество девочек в классе.
Тогда общее количество учеников можно записать как:
[ N = M + D ]
Дружба
Каждый мальчик дружит с 7 девочками, следовательно:
- Общее количество дружб между мальчиками и девочками, исходя из мальчиков, равно ( 7M ).
Каждая девочка дружит с 8 мальчиками, следовательно:
- Общее количество дружб между мальчиками и девочками, исходя из девочек, равно ( 8D ).
Так как количество дружб, которое исходит от мальчиков, должно равняться количеству дружб, которое исходит от девочек, мы можем записать:
[ 7M = 8D ]
Решение системы уравнений
Теперь у нас есть две уравнения:
- ( N = M + D )
- ( 7M = 8D )
Теперь выразим одно переменное через другое. Из второго уравнения можно выразить ( D ) через ( M ):
[ D = \frac{7M}{8} ]
Подставим это в первое уравнение:
[ N = M + \frac{7M}{8} ]
Перепишем:
[ N = M + 0.875M = \frac{8M}{8} + \frac{7M}{8} = \frac{15M}{8} ]
Подбор значений
Теперь ( N ) выражено через ( M ):
[ N = \frac{15M}{8} ]
Поскольку ( N ) должно быть целым числом, ( M ) должно быть кратно 8, чтобы 8 делилось на 15M.
Посмотрим, какие значения ( M ) могут быть:
- Если ( M = 8 ), тогда:
- ( N = \frac{15 \times 8}{8} = 15 ) (не подходит, меньше 20).
- Если ( M = 16 ), тогда:
- ( N = \frac{15 \times 16}{8} = 30 ) (подходит, больше 20 и меньше 35).
- Если ( M = 24 ), тогда:
- ( N = \frac{15 \times 24}{8} = 45 ) (не подходит, больше 35).
Теперь, подставив ( M = 16 ) в уравнение для ( D ):
[ D = \frac{7 \times 16}{8} = 14 ]
Верное число учеников
Теперь мы можем найти:
[ N = M + D = 16 + 14 = 30 ]
Ответ
Таким образом, общее количество учеников в классе равно 30.
