В данной задаче необходимо понять, в каких предложениях лучше использовать тире. Тире в русском языке применяется для обособления пояснительных, вставных и уточняющих конструкций, а также для обозначения паузы. Давайте проанализируем каждое из предложений:
(1) Сергей Васильевич Рахманинов великий русский композитор известен во всём мире.
Здесь нужно обособить выражение "великий русский композитор" и тире будет уместно: "Сергей Васильевич Рахманинов — великий русский композитор, известен во всём мире."(2) Он воспитывался в музыкальной семье.
В данном предложении обособление тире не требуется.(3) Сохранились музыкальные сочинения его деда ученика знаменитого композитора и пианиста Джона Фильда.
Здесь обособление "ученика знаменитого композитора и пианиста" также требует тире: "Сохранились музыкальные сочинения его деда — ученика знаменитого композитора и пианиста Джона Фильда."(4) Любовь Петровна мать музыканта давала ему первые уроки игры на фортепиано.
В этом предложении также необходимо тире: "Любовь Петровна — мать музыканта — давала ему первые уроки игры на фортепиано."(5) Александр Ильич Зилоти двоюродный брат композитора одним из первых оценил дарование юного пианиста.
Здесь правильно использовать тире: "Александр Ильич Зилоти — двоюродный брат композитора — одним из первых оценил дарование юного пианиста."(6) Именно он убедил родителей Рахманинова отправить его к Николаю Сергеевичу Звереву выдающемуся педагогу преподавателю Московской консерватории.
В этом предложении тире следует добавить: "Именно он убедил родителей Рахманинова отправить его к Николаю Сергеевичу Звереву — выдающемуся педагогу, преподавателю Московской консерватории."(7) Годы учёбы оставили неизгладимый след в душе юноши.
Тире здесь не требуется.(8) Он уже всемирно известный музыкант признавался что лучшим в себе всецело обязан своему учителю.
Опять лучше обособить предшествующее словосочетание: "Он — уже всемирно известный музыкант — признавался, что лучшим в себе всецело обязан своему учителю."(9) Золотые часы подарок педагога в честь успешной сдачи экзамена по композиции Сергей Васильевич бережно хранил всю жизнь.
Здесь нужно добавить тире: "Золотые часы — подарок педагога в честь успешной сдачи экзамена по композиции — Сергей Васильевич бережно хранил всю жизнь."(10) Сдача экзамена была действительно успешной: сочинение молодого композитора опера «Алеко» была рекомендована к постановке в Большом театре.
Тире не требуется.
Таким образом, предложения, в которых лучше использовать тире, следующие: 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9.