в тц установлены два автомата, продающих кофе. с какой вероятностью 0,25 к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. во втором кофе заканчиваются с вероятностью 0,4. нацдите…
В тц установлены два автомата, продающих кофе. с какой вероятностью 0,25 к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. во втором кофе заканчиваются с вероятностью 0,4. нацдите математическое ожидание числа автоматов, в которыз к вечеру закончится кофе
Для решения задачи о вероятностях и математическом ожидании, давайте разберем её по шагам.
Шаг 1: Понимание условий задачи
У нас есть два автомата, каждый из которых имеет свои вероятности окончания кофе к вечеру:
- Вероятность того, что в первом автомате закончится кофе: \(P_1 = 0.25\)
- Вероятность того, что во втором автомате закончится кофе: \(P_2 = 0.4\)
Нам нужно найти математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.
Шаг 2: Определение случайной величины
Обозначим случайную величину \(X\) как количество автоматов, в которых закончится кофе к вечеру. Она может принимать значения:
- 0 (если кофе не закончится ни в одном автомате),
- 1 (если кофе закончится в одном автомате),
- 2 (если кофе закончится в обоих автоматах).
Шаг 3: Вычисление вероятностей для каждой ситуации
Вероятность того, что кофе не закончится ни в одном автомате.
\[ P(X = 0) = P(\text{1-й автомат не закончился}) \times P(\text{2-й автомат не закончился}) = (1 - P_1) \times (1 - P_2) = (1 - 0.25) \times (1 - 0.4) = 0.75 \times 0.6 = 0.45 \]
Вероятность того, что кофе закончится в одном автомате.
Это может быть осуществлено двумя способами:
- Кофе закончится только в первом автомате: \[ P(X = 1 \text{ (только 1-й)}) = P_1 \times (1 - P_2) = 0.25 \times 0.6 = 0.15 \]
- Кофе закончится только во втором автомате: \[ P(X = 1 \text{ (только 2-й)}) = (1 - P_1) \times P_2 = 0.75 \times 0.4 = 0.30 \] Объединяя эти случаи, получаем: \[ P(X = 1) = P(X = 1 \text{ (только 1-й)}) + P(X = 1 \text{ (только 2-й)}) = 0.15 + 0.30 = 0.45 \]
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах:
\[ P(X = 2) = P_1 \times P_2 = 0.25 \times 0.4 = 0.10 \]
Шаг 4: Суммирование вероятностей
Теперь у нас есть все вероятности:
- \(P(X = 0) = 0.45\)
- \(P(X = 1) = 0.45\)
- \(P(X = 2) = 0.10\)
Шаг 5: Вычисление математического ожидания
Математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется по формуле: \[ E(X) = \sum_{x=0}^{2} x \cdot P(X = x) \]
Подставляем значения: \[ E(X) = 0 \cdot 0.45 + 1 \cdot 0.45 + 2 \cdot 0.10 \] \[ E(X) = 0 + 0.45 + 0.20 = 0.65 \]
Ответ: Математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе, равно \(0.65\).
