В тц установлены два автомата, продающих кофе. с какой вероятностью 0,25 к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. во втором кофе заканчиваются с вероятностью 0,4. нацдите математическое ожидание числа автоматов, в которыз к вечеру закончится кофе

Для решения задачи о вероятностях и математическом ожидании, давайте разберем её по шагам. **Шаг 1: Понимание условий задачи** У нас есть два автомата, каждый из которых имеет свои вероятности окончания кофе к вечеру: - Вероятность того, что в первом автомате закончится кофе: \(P_1 = 0.25\) - Вероятность того, что во втором автомате закончится кофе: \(P_2 = 0.4\) Нам нужно найти математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе. **Шаг 2: Определение случайной величины** Обозначим случайную величину \(X\) как количество автоматов, в которых закончится кофе к вечеру. Она может принимать значения: - 0 (если кофе не закончится ни в одном автомате), - 1 (если кофе закончится в одном автомате), - 2 (если кофе закончится в обоих автоматах). **Шаг 3: Вычисление вероятностей для каждой ситуации** 1. **Вероятность того, что кофе не закончится ни в одном автомате.** \[ P(X = 0) = P(\text{1-й автомат не закончился}) \times P(\text{2-й автомат не закончился}) = (1 - P_1) \times (1 - P_2) = (1 - 0.25) \times (1 - 0.4) = 0.75 \times 0.6 = 0.45 \] 2. **Вероятность того, что кофе закончится в одном автомате.** Это может быть осуществлено двумя способами: - Кофе закончится только в первом автомате: \[ P(X = 1 \text{ (только 1-й)}) = P_1 \times (1 - P_2) = 0.25 \times 0.6 = 0.15 \] - Кофе закончится только во втором автомате: \[ P(X = 1 \text{ (только 2-й)}) = (1 - P_1) \times P_2 = 0.75 \times 0.4 = 0.30 \] Объединяя эти случаи, получаем: \[ P(X = 1) = P(X = 1 \text{ (только 1-й)}) + P(X = 1 \text{ (только 2-й)}) = 0.15 + 0.30 = 0.45 \] 3. **Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах:** \[ P(X = 2) = P_1 \times P_2 = 0.25 \times 0.4 = 0.10 \] **Шаг 4: Суммирование вероятностей** Теперь у нас есть все вероятности: - \(P(X = 0) = 0.45\) - \(P(X = 1) = 0.45\) - \(P(X = 2) = 0.10\) **Шаг 5: Вычисление математического ожидания** Математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется по формуле: \[ E(X) = \sum_{x=0}^{2} x \cdot P(X = x) \] Подставляем значения: \[ E(X) = 0 \cdot 0.45 + 1 \cdot 0.45 + 2 \cdot 0.10 \] \[ E(X) = 0 + 0.45 + 0.20 = 0.65 \] **Ответ:** Математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе, равно \(0.65\).