Как решить

Чтобы решить задачу \( x(x - 2) < 0 \), найдём промежутки, на которых произведение будет меньше нуля. Уравнение преобразуется следующим образом:

1. Найдём нули функции: \[ x(x - 2) = 0 \]

   Решим уравнение:

   • \( x = 0 \)
   • \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

   Таким образом, нули функции: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

2. Разобьём числовую прямую на интервалы:

   Нулы делят числовую прямую на интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, +\infty) \).

3. Определим знак на каждом из интервалов:

   • На \( (-\infty, 0) \):

     • Выберем тестовую точку, например, \( x = -1 \).
     • \((-1) \cdot ((-1) - 2) = -1 \cdot (-3) = 3 > 0\).

   • На \( (0, 2) \):

     • Выберем тестовую точку, например, \( x = 1 \).
     • \(1 \cdot (1 - 2) = 1 \cdot (-1) = -1 < 0\).

   • На \( (2, +\infty) \):

     • Выберем тестовую точку, например, \( x = 3 \).
     • \(3 \cdot (3 - 2) = 3 \cdot 1 = 3 > 0\).

4. Выберем промежутки, где произведение отрицательное:

   Решение неравенства \( x(x - 2) < 0 \) находится на интервале \( (0, 2) \).

5. Проверьте края интервала:

   Поскольку знак строго меньше, точки \( x = 0 \) и \( x = 2 \) в решение не включаются.

Ответ: \( x \in (0, 2) \).