Найти сумму целых решений неравенства: 9|x – 4| < 81.

Решим неравенство: \[ 9|x - 4| < 81. \] ### Шаг 1: Упростим неравенство Сначала разделим обе стороны неравенства на 9: \[ |x - 4| < 9. \] ### Шаг 2: Разберем модуль Неравенство \( |x - 4| < 9 \) означает, что выражение \( x - 4 \) находится в пределах от -9 до 9. Это можно записать в виде двух неравенств: \[ -9 < x - 4 < 9. \] ### Шаг 3: Переносим 4 Теперь решим каждую часть неравенства: 1. Сначала решим левую часть: \[ -9 < x - 4 \] \[ -9 + 4 < x \] \[ -5 < x \] или \[ x > -5. \] 2. Теперь решим правую часть: \[ x - 4 < 9 \] \[ x < 9 + 4 \] \[ x < 13. \] ### Шаг 4: Объединяем результаты Таким образом, мы получили систему: \[ -5 < x < 13. \] ### Шаг 5: Находим целые решения Теперь найдем целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству. Целые числа в этом интервале — это числа от -4 до 12, включительно. ### Шаг 6: Перечислим целые числа Целые решения: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. ### Шаг 7: Находим сумму целых решений Теперь найдем сумму всех целых чисел от -4 до 12: \[ \text{Сумма} = (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12. \] Для удобства можно разбить числа на пары: \[ (-4 + 12) + (-3 + 11) + (-2 + 10) + (-1 + 9) + (0 + 8) + (1 + 7) + (2 + 6) + (3 + 5). \] Посчитаем пары: 1. \((-4 + 12) = 8\) 2. \((-3 + 11) = 8\) 3. \((-2 + 10) = 8\) 4. \((-1 + 9) = 8\) 5. \((0 + 8) = 8\) 6. \((1 + 7) = 8\) 7. \((2 + 6) = 8\) 8. \((3 + 5) = 8\) Всего пар 8, каждая с суммой 8: \[ 8 \times 8 = 64. \] Следовательно, сумма целых решений неравенства: \[ \text{Ответ: } 64. \]