Найти сумму целых решений неравенства: 9|x – 4| < 81.
Решим неравенство:
\[ 9|x - 4| < 81. \]
Шаг 1: Упростим неравенство
Сначала разделим обе стороны неравенства на 9:
\[ |x - 4| < 9. \]
Шаг 2: Разберем модуль
Неравенство \( |x - 4| < 9 \) означает, что выражение \( x - 4 \) находится в пределах от -9 до 9. Это можно записать в виде двух неравенств:
\[ -9 < x - 4 < 9. \]
Шаг 3: Переносим 4
Теперь решим каждую часть неравенства:
- Сначала решим левую часть:
\[ -9 < x - 4 \] \[ -9 + 4 < x \] \[ -5 < x \] или \[ x > -5. \]
- Теперь решим правую часть:
\[ x - 4 < 9 \] \[ x < 9 + 4 \] \[ x < 13. \]
Шаг 4: Объединяем результаты
Таким образом, мы получили систему:
\[ -5 < x < 13. \]
Шаг 5: Находим целые решения
Теперь найдем целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству. Целые числа в этом интервале — это числа от -4 до 12, включительно.
Шаг 6: Перечислим целые числа
Целые решения:
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Шаг 7: Находим сумму целых решений
Теперь найдем сумму всех целых чисел от -4 до 12:
\[ \text{Сумма} = (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12. \]
Для удобства можно разбить числа на пары:
\[ (-4 + 12) + (-3 + 11) + (-2 + 10) + (-1 + 9) + (0 + 8) + (1 + 7) + (2 + 6) + (3 + 5). \]
Посчитаем пары:
- \((-4 + 12) = 8\)
- \((-3 + 11) = 8\)
- \((-2 + 10) = 8\)
- \((-1 + 9) = 8\)
- \((0 + 8) = 8\)
- \((1 + 7) = 8\)
- \((2 + 6) = 8\)
- \((3 + 5) = 8\)
Всего пар 8, каждая с суммой 8:
\[ 8 \times 8 = 64. \]
Следовательно, сумма целых решений неравенства:
\[ \text{Ответ: } 64. \]
