Реши системные уравнения способом сложения

Давайте решим систему уравнений методом сложения. Рассмотрим простой пример системы из двух уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - y = 5 \end{cases} \] ### Шаг 1: Упорядочение уравнений Запишем систему уравнений в более удобной форме, если это необходимо. В нашем случае уравнения уже оформлены нормально. ### Шаг 2: Подготовка к сложению Для метода сложения нам нужно привести одно из уравнений к такому виду, чтобы при сложении мы могли исключить переменную. Например, мы можем сделать так, чтобы коэффициенты \(y\) в обоих уравнениях были равны. Второе уравнение \(4x - y = 5\) можно преобразовать, чтобы получить коэффициент при \(y\) равным 3. Умножим второе уравнение на 3: \[ 3(4x - y) = 3(5) \] Это преобразует его в: \[ 12x - 3y = 15 \] Теперь у нас есть новая система: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 12x - 3y = 15 \end{cases} \] ### Шаг 3: Сложение уравнений Теперь мы можем сложить два уравнения: \[ (2x + 3y) + (12x - 3y) = 12 + 15 \] Сложив, получаем: \[ 2x + 12x + 3y - 3y = 27 \] \[ 14x = 27 \] ### Шаг 4: Решение для x Теперь можно найти \(x\): \[ x = \frac{27}{14} \] ### Шаг 5: Подстановка в одно из уравнений Теперь подставим значение \(x\) в одно из исходных уравнений, чтобы найти \(y\). Используем первое уравнение: \[ 2\left(\frac{27}{14}\right) + 3y = 12 \] Упростим: \[ \frac{54}{14} + 3y = 12 \] Чтоб избавиться от дробей, пересчитаем 12. Умножим все уравнение на 14: \[ 54 + 42y = 168 \] \[ 42y = 168 - 54 \] \[ 42y = 114 \] \[ y = \frac{114}{42} = \frac{19}{7} \] ### Шаг 6: Итог Мы нашли: \[ x = \frac{27}{14}, \quad y = \frac{19}{7} \] ### Проверка решения Подставим \(x\) и \(y\) обратно в оба уравнения, чтобы убедиться, что решения верны: 1) Для первого уравнения: \[ 2\left(\frac{27}{14}\right) + 3\left(\frac{19}{7}\right) = \frac{54}{14} + \frac{57}{7} = \frac{54}{14} + \frac{114}{14} = \frac{168}{14} = 12 \quad \text{(верно)} \] 2) Для второго уравнения: \[ 4\left(\frac{27}{14}\right) - \left(\frac{19}{7}\right) = \frac{108}{14} - \frac{38}{14} = \frac{70}{14} = 5 \quad \text{(верно)} \] Таким образом, решение верно, и мы получили: \[ \boxed{\left( \frac{27}{14}, \frac{19}{7} \right)} \] Если у вас есть другие системы уравнений, присылайте их, и я помогу вам их решить!