Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с основ оптики и законов, связанных с собирающими линзами.
Шаг 1: Определение основных формул
Увеличение
Увеличение (Г) в оптических системах из линз определяется как:
[
Г = \frac{h'}{h} = \frac{f}{f_1} + \frac{f}{f_2}
]
где:
- (h') — высота изображения,
- (h) — высота предмета,
- (f_1) и (f_2) — фокусные длины первой и второй линз соответственно.
Чаще всего увеличением в системе из двух линз можно выразить как:
[
Г = Г_1 \cdot Г_2
]
где (Г_1) и (Г_2) — увеличение каждой из линз.
Оптическая сила
Оптическая сила (D) линзы определяется как:
[
D = \frac{1}{f}
]
где (f) — фокусное расстояние в метрах.
Шаг 2: Анализ условий задачи
Дано:
- Общее увеличение (Г = 4).
- Расстояние от предмета до изображения (d = 13) см или 0.13 м.
Шаг 3: Использование формул
Для определения увеличения для двух линз, если предполагается, что они имеют одинаковую оптическую силу (что часто удобно для решения подобных задач), получится:
[
Г_1 = Г_2
]
Таким образом,
[
Г_1^2 = 4 \Rightarrow Г_1 = 2
]
Это означает, что увеличение каждой линзы равно 2.
Шаг 4: Определение расстояния и оптической силы
Для линзы, использующей увеличение (Г_1):
[
Г_1 = \frac{d'}{d}
]
где (d') — расстояние до изображения от первой линзы, а (d) — расстояние до предмета.
Рассмотрим, что для первой линзы:
[
d' = 2 \cdot d
]
То есть:
[
d' = 2 \cdot 13 \text{ см} = 26 \text{ см} = 0.26 \text{ м}.
]
Шаг 5: Использование уравнения линз
Суммарное расстояние между предметом и изображением:
[
d + d' = 13 \text{ см} + 26 \text{ см} = 39 \text{ см} = 0.39 \text{ м}.
]
Теперь используем формулу тонкой линзы:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'}
]
Записываем для первого фокуса:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{0.13} + \frac{1}{0.26}.
]
Шаг 6: Расчет оптической силы
Подставляя значения:
[
\frac{1}{f} = \frac{2}{0.26} = \frac{1}{0.13} + \frac{1}{0.26}.
]
Решаем это уравнение:
[
\frac{1}{f} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{0.13} = \frac{3/2}{0.13} = \frac{3}{0.26}.
]
Получаем:
[
f \approx 0.087 \text{ м} \approx 8.7 \text{ см}.
]
Теперь вычисляем оптическую силу каждой линзы:
[
D = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.087} \approx 11.5 \text{ диоптрий} \Rightarrow D \approx 12 \text{ диоптрий} (округляем до целых).
]
Шаг 7: Ответ на задачу
Оптическая сила одной линзы, округлённая до целых: 12 диоптрий.
