8
Чтобы найти длину дуги кривой, заданной уравнением \( y = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \), на интервале \( 0 \leq x \leq \ln 4 \), мы использует формулу длины дуги для функции \( y = f(x) \):
\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \]
Найдём производную \(\frac{dy}{dx}\):
У нас \( y = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \).
Производная \( e^x = e^x \) и производная \( e^{-x} = -e^{-x} \).
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) \]
Подставляем производную в формулу длины дуги:
\[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left( \frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) \right)^2 = \frac{(e^x - e^{-x})^2}{4} \]
Раскроем квадрат:
\[ (e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x} \]
Таким образом:
\[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} \]
\[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4 + e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} \]
Находим длину дуги:
Теперь мы ищем
\[ L = \int_0^{\ln 4} \sqrt{\frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}} \, dx \]
Заметим, что:
\[ \sqrt{\frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}} = \frac{\sqrt{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}}{2} \]
Поскольку \( e^{2x} + 2 + e^{-2x} = (e^x + e^{-x})^2 \), то:
\[ \sqrt{e^{2x} + 2 + e^{-2x}} = e^x + e^{-x} \]
Теперь интеграл:
\[ L = \int_0^{\ln 4} \frac{e^x + e^{-x}}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\ln 4} (e^x + e^{-x}) \, dx \]
Разделим на два интеграла:
\[ = \frac{1}{2} \left( \int_0^{\ln 4} e^x \, dx + \int_0^{\ln 4} e^{-x} \, dx \right) \]
Решение каждого:
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
\[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C \]
Вычислим интегралы от 0 до \(\ln 4\):
\[ = \frac{1}{2} \left( [e^x]_0^{\ln 4} + [-e^{-x}]_0^{\ln 4} \right) \]
\[ = \frac{1}{2} \left( (e^{\ln 4} - e^0) + (-(e^{-\ln 4}) - (-e^0)) \right) \]
\[ = \frac{1}{2} \left( (4 - 1) + (-(1/4) - (-1)) \right) \]
\[ = \frac{1}{2} \left( 3 + (1 - 1/4) \right) \]
\[ = \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{3}{4} \right) \]
\[ = \frac{1}{2} \times \frac{15}{4} = \frac{15}{8} \]
Таким образом, длина дуги кривой равна \(\frac{15}{8}\).
