Чтобы найти косинус острого угла ( M ) в треугольнике, где известен синус этого угла, мы воспользуемся тригонометрической тождеством:
[
\sin^2(M) + \cos^2(M) = 1
]
Из этого уравнения мы можем выразить косинус через синус:
[
\cos^2(M) = 1 - \sin^2(M)
]
Поскольку нам известен синус угла ( M ), равный ( \sin(M) = \frac{12}{15} ), сначала найдем его квадрат:
[
\sin^2(M) = \left(\frac{12}{15}\right)^2 = \frac{144}{225}
]
Теперь подставим это значение в треугольное тождество:
[
\cos^2(M) = 1 - \sin^2(M) = 1 - \frac{144}{225}
]
Чтобы выполнить это вычитание, нужно привести 1 к общему знаменателю ( 225 ):
[
1 = \frac{225}{225}
]
Теперь продолжим с вычислением:
[
\cos^2(M) = \frac{225}{225} - \frac{144}{225} = \frac{225 - 144}{225} = \frac{81}{225}
]
Теперь найдем косинус угла ( M ):
[
\cos(M) = \sqrt{\cos^2(M)} = \sqrt{\frac{81}{225}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{225}} = \frac{9}{15}
]
Это значение можно сократить, поскольку и 9, и 15 делятся на 3:
[
\cos(M) = \frac{3}{5}
]
Таким образом, косинус острого угла ( M ) равен ( \frac{3}{5} ).
