Задумали трёхзначное число, вторая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но первую и вторую цифру поменяли местами. Получили…
Задумали трёхзначное число, вторая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но первую и вторую цифру поменяли местами. Получили число 720. Найди все числа, большие 900 и обладающие таким свойством
Давайте разберем эту задачу пошагово.
Обозначим трёхзначное число: Пусть наше трёхзначное число имеет вид \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — цифры, причем \(a\) — первая цифра, \(b\) — вторая, а \(c\) — третья. Поскольку это трёхзначное число, \(a\) не может быть нулём, а \(b\) — не равна нулю.
Значит, \(a \in \{1, 2, ..., 9\}\), \(b \in \{1, 2, ..., 9\}\), \(c \in \{0, 1, ..., 9\}\).
Запишем уравнение: Если мы поменяем первую и вторую цифры, то получим новое число \(bac\). Мы можем выразить оба числа следующим образом:
- Первое число: \(abc = 100a + 10b + c\)
- Второе число: \(bac = 100b + 10a + c\)
По условию задачи мы знаем, что: \[ abc - bac = 720 \] Подставим значения: \[ (100a + 10b + c) - (100b + 10a + c) = 720 \] Упростим уравнение: \[ 100a + 10b + c - 100b - 10a - c = 720 \] \(c\) сокращается с обеих сторон: \[ 100a - 10a + 10b - 100b = 720 \] Соберем подобные: \[ 90a - 90b = 720 \] Разделим обе стороны на 90: \[ a - b = 8 \]
Находим возможные пары (a, b): Мы знаем, что \(a = b + 8\). Поскольку \(a\) и \(b\) — цифры, \(b\) должно быть не больше 1, чтобы \(a\) было допустимой цифрой:
- Если \(b = 1\), то \(a = 9\).
- Если \(b = 2\) или больше, \(a\) станет больше 9, что невозможно, так как \(a\) — цифра.
Таким образом, единственная пара: \(a = 9\), \(b = 1\).
Переберем значения c: Теперь мы можем найти трёхзначное число \(abc\), где \(a = 9\) и \(b = 1\). Из-за того что \(c\) может принимать любое значение от 0 до 9, мы получаем числа: \[ 910, 911, 912, 913, 914, 915, 916, 917, 918, 919. \]
Проверяем все числа на выполнение условия задачи: Теперь проверим, выполняется ли условие, что разность между числом и числом с переставленными цифрами равна 720:
Для \(910\): \[ 910 - 190 = 720, \] Для \(911\): \[ 911 - 191 = 720, \] Для \(912\): \[ 912 - 192 = 720, \] Для \(913\): \[ 913 - 193 = 720, \] И так далее до \(919\).
Поскольку все эти вычисления верны и дают нам разность 720, мы получаем ответ:
Ответ: Все числа, большие 900 и обладающие указанным свойством: 910, 911, 912, 913, 914, 915, 916, 917, 918, 919.
