В классе 16 девочек, среди которых есть три подружки Алёна, Маша и Вика. На следующей неделе будет проходить конкурс стихотворений среди девочек. Учитель случайным образом выбирает двух девочек. а) Сколько способов выбрать 2 девочек? б) Сколько способов выбрать двух девочек, при том, что это будут 2 из 3 подружек?

Чтобы решить задачу, давайте разберем обе части по порядку. ### а) Сколько способов выбрать 2 девочек из 16? Для этой задачи мы будем использовать формулу для сочетаний, которая позволяет нам выяснить, сколько разных способов можно выбрать группы элементов из общего количества: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где: - \(C(n, k)\) — число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\), - \(n\) — общее количество элементов (в данном случае 16), - \(k\) — количество выбираемых элементов (в данном случае 2), - \(n!\) — факториал числа \(n\) (произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\)). Теперь подставим наши значения в формулу: 1. \(n = 16\) 2. \(k = 2\) Теперь рассчитаем: \[ C(16, 2) = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2! \cdot 14!} \] Сократим \(16!\) и \(14!\): \[ C(16, 2) = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = \frac{240}{2} = 120 \] **Ответ на первую часть:** Существует 120 способов выбрать 2 девочек из 16. ### б) Сколько способов выбрать двух девочек, при том, что это будут 2 из 3 подружек? В этом случае нам нужно выбрать 2 девочек из 3 подружек (Алёны, Маши и Вики). Используем ту же формулу сочетаний: 1. Теперь \(n = 3\) (количество подружек), 2. \(k = 2\) (выбираем 2 из них). Подставим: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} \] Теперь рассчитаем: \[ C(3, 2) = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \] **Ответ на вторую часть:** Существует 3 способа выбрать 2 девочек из 3 подружек. ### Итоговые ответы: а) 120 способов выбрать 2 девочек из 16. б) 3 способа выбрать 2 девочки из 3 подружек.