В классе 16 девочек, среди которых есть три подружки Алёна, Маша и Вика. На следующей неделе будет проходить конкурс стихотворений среди девочек. Учитель случайным образом…

Чтобы решить задачу, давайте разберем обе части по порядку.

а) Сколько способов выбрать 2 девочек из 16?

Для этой задачи мы будем использовать формулу для сочетаний, которая позволяет нам выяснить, сколько разных способов можно выбрать группы элементов из общего количества:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \(C(n, k)\) — число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\),
• \(n\) — общее количество элементов (в данном случае 16),
• \(k\) — количество выбираемых элементов (в данном случае 2),
• \(n!\) — факториал числа \(n\) (произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\)).

Теперь подставим наши значения в формулу:

1. \(n = 16\)
2. \(k = 2\)

Теперь рассчитаем:

\[ C(16, 2) = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2! \cdot 14!} \]

Сократим \(16!\) и \(14!\):

\[ C(16, 2) = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = \frac{240}{2} = 120 \]

Ответ на первую часть: Существует 120 способов выбрать 2 девочек из 16.

б) Сколько способов выбрать двух девочек, при том, что это будут 2 из 3 подружек?

В этом случае нам нужно выбрать 2 девочек из 3 подружек (Алёны, Маши и Вики).

Используем ту же формулу сочетаний:

1. Теперь \(n = 3\) (количество подружек),
2. \(k = 2\) (выбираем 2 из них).

Подставим:

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} \]

Теперь рассчитаем:

\[ C(3, 2) = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

Ответ на вторую часть: Существует 3 способа выбрать 2 девочек из 3 подружек.

Итоговые ответы:

а) 120 способов выбрать 2 девочек из 16.
б) 3 способа выбрать 2 девочки из 3 подружек.