1. (x - 4)(x + 7) <= 0 2. (x + 3)/(x - 1) > 0 ;

Давайте решим представленные неравенства по очереди.

Задача 1: (x - 4)(x + 7) ≤ 0

Шаг 1: Находим корни уравнения.

Для начала найдем значения x, при которых выражение равно нулю:

\[ (x - 4)(x + 7) = 0 \]

Корни уравнения:

• \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
• \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)

Таким образом, корни — это \(x = 4\) и \(x = -7\).

Шаг 2: Разбиваем числовую ось.

Корни разделяют числовую ось на три интервала:

1. \(x < -7\)
2. \(-7 \leq x \leq 4\)
3. \(x > 4\)

Шаг 3: Определяем знак выражения в каждом интервале.

Теперь мы проверим знак выражения на каждом из этих интервалов. Для этого можно взять тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала \(x < -7\) (например, \(x = -8\)): \[ (-8 - 4)(-8 + 7) = (-12)(-1) = 12 \quad (\text{положительное}) \]

• Для интервала \(-7 < x < 4\) (например, \(x = 0\)): \[ (0 - 4)(0 + 7) = (-4)(7) = -28 \quad (\text{отрицательное}) \]

• Для интервала \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \[ (5 - 4)(5 + 7) = (1)(12) = 12 \quad (\text{положительное}) \]

Шаг 4: Составляем итоговое решение.

Степень знаков в интервалах выглядит следующим образом:

1. \(x < -7\): положительное
2. \(-7 \leq x \leq 4\): отрицательное
3. \(x > 4\): положительное

Мы ищем, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит в интервале \(-7 \leq x \leq 4\). Знак «равно» позволяет включить границы. Таким образом, решение неравенства:

\[ [-7, 4] \]

Задача 2: \(\frac{x + 3}{x - 1} > 0\)

Шаг 1: Находим точки, где выражение равно нулю или не определено.

Для числителя: \[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \]

Для знаменателя: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = -3\) (нулевой) и \(x = 1\) (разделяющая точка).

Шаг 2: Разбиваем числовую ось.

Опять же, критические точки делят числовую ось на три интервала:

1. \(x < -3\)
2. \(-3 < x < 1\)
3. \(x > 1\)

Шаг 3: Определяем знак выражения в каждом интервале.

Проверим знак выражения \(\frac{x + 3}{x - 1}\) для каждого из интервалов:

• Для интервала \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \[ \frac{-4 + 3}{-4 - 1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} \quad (\text{положительное}) \]

• Для интервала \(-3 < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \[ \frac{0 + 3}{0 - 1} = \frac{3}{-1} = -3 \quad (\text{отрицательное}) \]

• Для интервала \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \[ \frac{2 + 3}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5 \quad (\text{положительное}) \]

Шаг 4: Составляем итоговое решение.

Мы ищем, где выражение больше нуля. Оно положительно для интервалов:

1. \(x < -3\)
2. \(x > 1\)

Таким образом, объединяя результаты, решением неравенства является:

\[ (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) \]

Итоговые решения:

1. \((x - 4)(x + 7) \leq 0 \Rightarrow [-7, 4]\)
2. \(\frac{x + 3}{x - 1} > 0 \Rightarrow (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)\)