Давайте обозначим время, за которое вторая труба наполняет резервуар, как ( x ) минут. Тогда первая труба будет наполнять резервуар за ( x + 14 ) минут.
Скорость нап filling резервуара:
- Вторая труба: ( \frac{1}{x} ) резервуара в минуту.
- Первая труба: ( \frac{1}{x + 14} ) резервуара в минуту.
Когда обе трубы работают одновременно, их совместная скорость будет:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 14} = \frac{1}{24}
]
Теперь найдем общий знаменатель для левой части:
[
\frac{(x + 14) + x}{x(x + 14)} = \frac{2x + 14}{x(x + 14)}
]
Приравняв к правой части, получаем:
[
\frac{2x + 14}{x(x + 14)} = \frac{1}{24}
]
Теперь мы можем перемножить обе части на ( 24x(x + 14) ):
[
24(2x + 14) = x(x + 14)
]
Раскроем скобки:
[
48x + 336 = x^2 + 14x
]
Приведем все к одному уравнению:
[
x^2 - 34x - 336 = 0
]
Теперь можем решить это квадратное уравнение. Используем формулу корней для квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = -34, c = -336 ).
Вычисляем дискриминант:
[
D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-336) = 1156 + 1344 = 2500
]
Теперь находим корни:
[
x = \frac{34 \pm 50}{2}
]
Получаем два значения:
- ( x = \frac{84}{2} = 42 ) (время второй трубы)
- ( x = \frac{-16}{2} ) (отрицательное значение игнорируем)
Теперь найдем время первой трубы:
[
x + 14 = 42 + 14 = 56 \text{ минут}
]
Таким образом, вторая труба наполняет резервуар за 42 минуты, а первая — за 56 минут.
Ответ: Вторая труба наполняет резервуар за 42 минуты.
