Решить простейшие тригонометрические неравенства 1. 2 sin x =>-√3 2. sin 2x <=√2/2 3. sin x/2 <-1/2 4. cos x >=1 5. cos x <1 6. 2 cos x >1 7. cos x/3 < √3/2 8. tg x >1 9. tg x >= -√3 10. tg 4 x <1

Давайте разберем каждое тригонометрическое неравенство по порядку, предоставляя полные решения и объяснения. ### 1. \( 2 \sin x \geq -\sqrt{3} \) **Шаг 1:** Перепишем неравенство. \[ \sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2} \] **Шаг 2:** Найдем значения, для которых \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Значение \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) имеет решения: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] **Шаг 3:** Так как синус принимает значения от -1 до 1, мы можем заключить, что: \[ x \in \left[\frac{7\pi}{6} + 2k\pi; \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### 2. \( \sin 2x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \) **Шаг 1:** Зададим \( 2x = y \), и неравенство будет выглядеть так: \[ \sin y \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \] **Шаг 2:** Значения, при которых \( \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad y = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \] **Шаг 3:** Следовательно: \[ \sin y \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad y \in \left(-\infty; \frac{\pi}{4} + 2k\pi\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4} + 2k\pi; +\infty\right) \] **Шаг 4:** Возвращаемся к \( x \): \[ x \in \left(-\infty; \frac{\pi}{8} + k\pi\right] \cup \left[\frac{3\pi}{8} + k\pi; +\infty\right), \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### 3. \( \frac{\sin x}{2} < -\frac{1}{2} \) **Шаг 1:** Умножим обе стороны на 2 (знак неравенства сохраняется): \[ \sin x < -1 \] **Шаг 2:** Поскольку синус не может превышать 1 по модулю, это неравенство не имеет решений. --- ### 4. \( \cos x \geq 1 \) **Шаг 1:** Поскольку максимальное значение косинуса равно 1, это неравенство выполняется, когда: \[ \cos x = 1 \] **Шаг 2:** Решение: \[ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### 5. \( \cos x < 1 \) **Шаг 1:** Это неравенство выполняется для всех \( x \), кроме тех случаев, когда \( \cos x = 1 \): \[ x \neq 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### 6. \( 2 \cos x > 1 \) **Шаг 1:** Упрощаем неравенство: \[ \cos x > \frac{1}{2} \] **Шаг 2:** Значения, при которых \( \cos x = \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \] **Шаг 3:** Следовательно: \[ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi; \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### 7. \( \frac{\cos x}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2} \) **Шаг 1:** Умножим на 3 (знак неравенства сохраняется): \[ \cos x < \frac{3\sqrt{3}}{2} \] **Шаг 2:** Поскольку \( \frac{3\sqrt{3}}{2} > 1 \), данное неравенство верно для всех \( x \): \[ x \in \mathbb{R} \] --- ### 8. \( \tan x > 1 \) **Шаг 1:** Значения, когда \( \tan x = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] **Шаг 2:** Решение: \[ x \in \left(\frac{\pi}{4} + k\pi; \frac{5\pi}{4} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### 9. \( \tan x \geq -\sqrt{3} \) **Шаг 1:** Значения, где \( \tan x = -\sqrt{3} \): \[ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \] **Шаг 2:** Решение: \[ x \in \left[-\frac{\pi}{3} + k\pi; \frac{2\pi}{3} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### 10. \( \tan 4x < 1 \) **Шаг 1:** Значение, при котором \( \tan 4x = 1 \): \[ 4x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] **Шаг 2:** Решение: \[ x < \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Таким образом, для каждого из неравенств мы получили параметрические решения, которые должны быть решены в зависимости от заданного значения \( k \).