В треугольниках АВС и А,В,С углы А и А, — прямые, BD и В, Д, биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ДА,В,С, если ∠B=∠В, и BD=BD.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства треугольников и биссектрис. Нам предстоит доказать равенство треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle A'B'C' \) при условии, что углы \( \angle B = \angle B' \) и \( BD = B'D' \).

Дано:

1. Угол \( A \) является прямым в треугольнике \( ABC \).
2. Угол \( A' \) также является прямым в треугольнике \( A'B'C' \).
3. Биссектрисы \( BD \) и \( B'D' \).
4. Углы \( \angle B = \angle B' \).
5. Длина биссектрис \( BD = B'D' \).

Необходимое:

Докажем, что треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle A'B'C' \) равны, то есть \( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \).

Доказательство:

1. Признаки равенства треугольников. Мы можем использовать критерий равенства треугольников по двум углам и стороне (ААС).

2. Углы и стороны:

   • У нас есть угол \( A = 90^\circ \) в треугольнике \( ABC \) и угол \( A' = 90^\circ \) в треугольнике \( A'B'C' \). Это означает, что оба треугольника имеют равные углы при вершине \( A \) и \( A' \).
   • По условию мы знаем, что \( \angle B = \angle B' \).
   • Таким образом, в обоих треугольниках имеются два равных угла: \[ \angle A = \angle A' = 90^\circ, \quad \angle B = \angle B'. \]

3. Сторона, относящаяся к углам:

   • Биссектрисы \( BD \) и \( B'D' \) равны по условию задачи, то есть: \[ BD = B'D'. \]

4. Заключение о равенстве треугольников: Мы имеем два угла и сторон, заключающие между ними. Условия заданы следующим образом:

   • \( \angle A = \angle A' \) (оба равны \(90^\circ\))
   • \( \angle B = \angle B' \)
   • \( BD = B'D' \)

   По критерию ААС: \[ \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \]

Итог:

Таким образом, мы доказали, что треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \) равны \( \triangle ABC = \triangle A'B'C' \), что и требовалось подтвердить.