1. Из данных неравенств выберите рациональные неравенства:
a) (x -8)(x +5) < 0:
6) Jx -3(х + 5) >0;
в) xª(x +4) ≥ 0;
r) (*- 8)(%-9) 50.
2. Выберите схему графика функции, соответствующую решению неравенства (х - 2)(х - 3)(х - 6) ≥ 0:
a)
б) =
B)
x -5
3. Решите неравенство -
< 0 методом интервалов.
x-1
4. Найдите все значения переменной, для которых
(4 - x)(x - 2)(x + 5) ≥ 0.
5. Решите неравенство (2x-1)(x +3) ≤ 0, используя алгоритм
8ー5
решения неравенства методом интервалов.
6. Решите неравенство (х + 4)°(х - 5) ≥ 0.
2?
7. Решите неравенство-
x+4 <2.
8. Найдите область определения функции
f(x) = Nx° -x + T(x -1)(x 1)(x -2)(x-3)
1. Распознаем рациональные неравенства:
a) \((x - 8)(x + 5) < 0\) - рациональное неравенство.
b) \(\sqrt{x - 3}(x + 5) > 0\) - не рациональное (при \(x < 3\)).
в) \(x^4(x + 4) \geq 0\) - рациональное неравенство (функция четная).
r) \((x - 8)(x - 9) > 50\) - рациональное неравенство.
Ответ: A, B (первое и четвёртое неравенства).
2. Для неравенства \((x - 2)(x - 3)(x - 6) \geq 0\) находим корни: \(x = 2, 3, 6\). Просматриваем знаки между интервалами:
- \((-\infty, 2)\): знак положительный
- \((2, 3)\): знак отрицательный
- \((3, 6)\): знак положительный
- \((6, +\infty)\): знак положительный
Поскольку неравенство включает равенство, вычеркиваем интервал \((2, 3)\).
График должен выглядеть следующим образом: заштрихованы области \((-\infty, 2] \cup [3, 6] \cup [6, +\infty)\).
Ответ: в) – правильный график.
3. Решаем неравенство: \(\frac{x - 1}{x - 3} < 0\)
Корни и точки разрыва: \(x = 1\) и \(x = 3\).
Интервалы:
- \((-\infty, 1)\): положительное значение.
- \((1, 3)\): отрицательное значение (входит в ответ).
- \((3, +\infty)\): положительное значение.
Ответ: \(x \in (1, 3)\).
4. Решаем неравенство \((4 - x)(x - 2)(x + 5) \geq 0\).
Корни: \(x = 4, 2, -5\).
Проверка знаков:
- \((-\infty, -5)\): положительное
- \((-5, 2)\): отрицательное
- \((2, 4)\): положительное
- \((4, +\infty)\): отрицательное
Ответ: \(x \in (-\infty, -5] \cup [2, 4]\).
5. Решаем неравенство \((2x - 1)(x + 3) \leq 0\).
Корни: \(x = \frac{1}{2}, -3\).
Интервалы:
- \((-\infty, -3)\): положительное
- \((-3, \frac{1}{2})\): отрицательное (входит в ответ)
- \((\frac{1}{2}, +\infty)\): положительное.
Ответ: \(x \in [-3, \frac{1}{2}]\).
6. Решаем неравенство \((x + 4)^2(x - 5) \geq 0\).
Корни: \(x = -4, 5\).
Знаки:
- \((-\infty, -4)\): положительное
- \((-4, 5)\): положительное
- \((5, +\infty)\): положительное.
Ответ: \(x \in (-\infty, -4] \cup [5, +\infty)\).
7. Решаем неравенство \(\frac{x + 4}{2} < 2\).
Переписываем: \(x + 4 < 4\) ⇒ \(x < 0\).
Ответ: \(x \in (-\infty, 0)\).
8. Для функции \(f(x) = \sqrt{x^2 - x} + T(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)\) область определения:
\[
x^2 - x \geq 0 \implies x(x - 1) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty).
\]
Решаем \(T(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)\) — нет ограничений.
Ответ: \(x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)\).
