Контрольная работа 4 Вариант 2 1. Периметр треугольника, образованного средними ли ниями равностороннего треугольника АВС, равен 48 см. Найдите АВ. 2. В треугольнике АВС угол…

Давайте решим поставленные задачи по порядку.

Задача 1

Периметр треугольника, образованного средними линиями равностороннего треугольника АВС, равен 48 см. Найдите АВ.

Решение:

1. Определим свойства равностороннего треугольника.
   В равностороннем треугольнике все стороны равны. Обозначим сторону треугольника АВС как \( a \).

2. Найдём длину стороны треугольника, образованного средними линиями.
   Средние линии параллельны сторонам треугольника и равны половине его сторон. Значит, каждая средняя линия равного треугольника будет равна \( \frac{a}{2} \).

3. Периметр треугольника, образованного средними линиями: \[ P = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2} \]

4. Равенство периметра к 48 см: \[ \frac{3a}{2} = 48 \]

5. Решим это уравнение для \( a \): \[ 3a = 48 \times 2 = 96 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{96}{3} = 32 \text{ см} \]

Ответ: \( AB = 32 \) см.

Задача 2

В треугольнике АВС угол C = 90°. АС = 4 см, АВ = 5 см. Найдите sin A, cos A, tg A, sin B, cos B, tg B.

Решение:

1. Найдём сторону BC с помощью теоремы Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad 5^2 = 4^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad 25 = 16 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad BC^2 = 9 \] \[ BC = 3 \text{ см} \]

2. Теперь мы имеем все стороны треугольника:

   • \( AC = 4 \) см
   • \( BC = 3 \) см
   • \( AB = 5 \) см

3. Находим синус и косинус углов A и B: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} \] \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} \] \[ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} \]

4. Для угла B (так как угол C = 90°): \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} \] \[ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} \] \[ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3} \]

Ответ:

• \( \sin A = \frac{3}{5} \)
• \( \cos A = \frac{4}{5} \)
• \( \tan A = \frac{3}{4} \)
• \( \sin B = \frac{4}{5} \)
• \( \cos B = \frac{3}{5} \)
• \( \tan B = \frac{4}{3} \)

Задача 3

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18 см, а периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 23 см. Найдите основание данного треугольника.

Решение:

1. Обозначим основание равнобедренного треугольника как \( b \).
   Тогда периметр треугольника будет равен: \[ P = 18 + 18 + b = 36 + b \]

2. Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен: \[ P_{средний} = \frac{18}{2} + \frac{18}{2} + \frac{b}{2} = 9 + 9 + \frac{b}{2} = 18 + \frac{b}{2} \]

3. Дано, что \( P_{средний} = 23 \): \[ 18 + \frac{b}{2} = 23 \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad b = 10 \text{ см} \]

Ответ: \( b = 10 \) см.

Задача 4

Высота BD прямоугольного треугольника ABC равна 24 см и отсекает от гипотенузы AC отрезок DC, равный 18 см. Найдите AB и cos A.

Решение:

1. Используем формулу площади прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \] С другой стороны, площадь также равна: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \]

2. Пусть \( AB = x \) и \( BC = y \). Тогда высота BD отсекает отрезок DC.
   Мы знаем, что: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = x^2 + y^2 \]

3. Также, по формуле для высоты: \[ BD = \frac{AB \cdot BC}{AC} \]

4. Сначала найдём AC. Для этого используем отношения высоты и отрезка гипотенузы: Для прямоугольного треугольника: \[ BD^2 = AD \cdot DC \quad \Rightarrow \quad 24^2 = AD \cdot 18 \] \( AD = \frac{576}{18} = 32 \text{ см} \).

5. Найдём AC: \[ AC = AD + DC = 32 + 18 = 50 \text{ см} \]

6. Теперь можем найти AB, используя теорему Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad 50^2 = x^2 + (24 \cdot \frac{50}{24})^2 = x^2 + 576 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2500 - 576 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1924 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{1924} \]

7. Теперь найдем \( \cos A \): Зная \( \cos A = \frac{BC}{AC} \), подставляем значения: \[ \cos A = \frac{24}{50} = 0.48 \]

Ответ:

• \( AB = \sqrt{1924} \approx 43.87 \) см (или уточним более точно);
• \( \cos A \approx 0.48 \).

Задача 5

Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к его диагонали, делит ее на отрезки, равные 2 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

1. Обозначим диагональ прямоугольника как \( d \).
   Перпендикуляр делит диагональ на два отрезка: \( 2 \text{ см} \) и \( 8 \text{ см} \).
   Значит, \( d = 2 + 8 = 10 \text{ см} \).

2. Используем свойство прямоугольника:
   При проведении перпендикуляра на диагональ, он делит прямоугольник на два треугольника. Площадь прямоугольника \( S \) можно выразить через его диагональ \( d \) и высоту \( h \) от точки пересечения перпендикуляра до основания: \[ S = \frac{1}{2} \cdot d \times h \]

   Обозначим \( h \) как длину перпендикуляра, которую можем найти через теорему Пифагора.

3. Известно, что произведение длины отрезков на высоту перекрывает квадрат диагонали: \[ h = \sqrt{(2)(8)} \] \[ h = \sqrt{16} = 4 \]

4. Считаем площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь прямоугольника равна \( 20 \text{ см}^2 \).

Таким образом, все задачи решены. Если есть вопросы или необходимы уточнения, не стесняйтесь спрашивать!