Для того чтобы написать уравнение окружности, которая проходит через точки (M(2; 0)) и (N(-4; 8)) с отрезком (MN) в качестве диаметра, нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найти координаты центра окружности
Центр окружности, когда отрезок (MN) является диаметром, находится в середине этого отрезка. Мы можем найти середину, используя формулу:
[
C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
]
Для наших точек (M(2; 0)) и (N(-4; 8)):
[
C\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{0 + 8}{2}\right) = C\left(\frac{-2}{2}, \frac{8}{2}\right) = C(-1, 4)
]
Итак, координаты центра окружности (C) равны ((-1, 4)).
Шаг 2: Найти радиус окружности
Радиус окружности – это половина длины отрезка (MN). Для нахождения длины отрезка (MN) мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
В нашем случае:
[
d = \sqrt{((-4) - 2)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
]
Таким образом, длина отрезка (MN) равна 10, следовательно, радиус (r) будет равен:
[
r = \frac{10}{2} = 5
]
Шаг 3: Записать уравнение окружности
Уравнение окружности имеет вид:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]
где ((x_0, y_0)) - координаты центра окружности, а (r) - радиус. Подставим найденные значения:
[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 5^2
]
Приводим уравнение к окончательному виду:
[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25
]
Ответ
Уравнение окружности, которая проходит через точки (M(2; 0)) и (N(-4; 8)) с отрезком (MN) в качестве диаметра, записывается как:
[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25
]
