1)Окружность проходит через точки М (2;0) и N( -4;8). напишите уравнение окружности если отрезок MN является ее диаметром.

Для того чтобы написать уравнение окружности, которая проходит через точки \(M(2; 0)\) и \(N(-4; 8)\) с отрезком \(MN\) в качестве диаметра, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти координаты центра окружности

Центр окружности, когда отрезок \(MN\) является диаметром, находится в середине этого отрезка. Мы можем найти середину, используя формулу:

\[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

Для наших точек \(M(2; 0)\) и \(N(-4; 8)\):

\[ C\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{0 + 8}{2}\right) = C\left(\frac{-2}{2}, \frac{8}{2}\right) = C(-1, 4) \]

Итак, координаты центра окружности \(C\) равны \((-1, 4)\).

Шаг 2: Найти радиус окружности

Радиус окружности – это половина длины отрезка \(MN\). Для нахождения длины отрезка \(MN\) мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

В нашем случае:

\[ d = \sqrt{((-4) - 2)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Таким образом, длина отрезка \(MN\) равна 10, следовательно, радиус \(r\) будет равен:

\[ r = \frac{10}{2} = 5 \]

Шаг 3: Записать уравнение окружности

Уравнение окружности имеет вид:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

где \((x_0, y_0)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус. Подставим найденные значения:

\[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 5^2 \]

Приводим уравнение к окончательному виду:

\[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25 \]

Ответ

Уравнение окружности, которая проходит через точки \(M(2; 0)\) и \(N(-4; 8)\) с отрезком \(MN\) в качестве диаметра, записывается как:

\[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25 \]