Вычисли tg α tgα , зная, что cos α = 1 7 cosα= 7 1 и 0 < α < π 2 0<α< 2 π . Выбери верный вариант. 4 3 4 3 − 4 3 −4 3 3 12 12 3 − 3 12 − 12 3
Для решения задачи, начнем с того, что мы знаем значение \(\cos \alpha\) и должны найти \(\tan \alpha\). Напоминаю, что \(\tan \alpha\) можно выразить через \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
Также мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Известно, что \(\cos \alpha = \frac{1}{7}\). Подставим это значение в тождество:
\[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 1 \]
Вычислим \(\left(\frac{1}{7}\right)^2\):
\[ \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ \sin^2 \alpha + \frac{1}{49} = 1 \]
Решим его для \(\sin^2 \alpha\):
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{49} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{49}{49} - \frac{1}{49} = \frac{48}{49} \]
Теперь найдем \(\sin \alpha\):
\[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7} \]
Мы использовали положительное значение для \(\sin \alpha\), так как в диапазоне \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) синус и косинус положительны.
Теперь, подставим найденные значения \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) в формулу для \(\tan \alpha\):
\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}}{\frac{1}{7}} = 4\sqrt{3} \]
Теперь, когда мы нашли \(\tan \alpha\), можем вычислить \(\tan \alpha \cdot \tan \alpha\):
\[ \tan \alpha \cdot \tan \alpha = (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) = 16 \cdot 3 = 48 \]
Таким образом, полное значение \(\tan \alpha \tan \alpha = 48\).
Так как это значение не совпадает с предложенными вариантами, нам может потребоваться обратиться к выборам, которые предоставлены в задаче. Если в заданиях подразумевается что-то другое под выводом, отмените данные операции.
Финальный ответ - \(\tan \alpha = 4\sqrt{3}\), и мы сделали все расчеты для понимания. Если вам нужно больше объяснений или вопросов, дайте знать!
