Для решения задачи, начнем с того, что мы знаем значение (\cos \alpha) и должны найти (\tan \alpha). Напоминаю, что (\tan \alpha) можно выразить через (\cos \alpha) и (\sin \alpha):
[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
]
Также мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Известно, что (\cos \alpha = \frac{1}{7}). Подставим это значение в тождество:
[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 1
]
Вычислим (\left(\frac{1}{7}\right)^2):
[
\frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}
]
Теперь подставим это в уравнение:
[
\sin^2 \alpha + \frac{1}{49} = 1
]
Решим его для (\sin^2 \alpha):
[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{49}
]
[
\sin^2 \alpha = \frac{49}{49} - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}
]
Теперь найдем (\sin \alpha):
[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}
]
Мы использовали положительное значение для (\sin \alpha), так как в диапазоне (0 < \alpha < \frac{\pi}{2}) синус и косинус положительны.
Теперь, подставим найденные значения (\sin \alpha) и (\cos \alpha) в формулу для (\tan \alpha):
[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}}{\frac{1}{7}} = 4\sqrt{3}
]
Теперь, когда мы нашли (\tan \alpha), можем вычислить (\tan \alpha \cdot \tan \alpha):
[
\tan \alpha \cdot \tan \alpha = (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) = 16 \cdot 3 = 48
]
Таким образом, полное значение (\tan \alpha \tan \alpha = 48).
Так как это значение не совпадает с предложенными вариантами, нам может потребоваться обратиться к выборам, которые предоставлены в задаче. Если в заданиях подразумевается что-то другое под выводом, отмените данные операции.
Финальный ответ - (\tan \alpha = 4\sqrt{3}), и мы сделали все расчеты для понимания. Если вам нужно больше объяснений или вопросов, дайте знать!
