1 Три одинаковых точечных заряда 20 нКл расположены в вер-шинах равностороннего треугольника. На каждый заряд дей-ствует сила 10 мН. Найдите длину стороны треугольника.

Для решения задачи о трех точечных зарядах, расположенных в вершинах равностороннего треугольника, воспользуемся законом Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя точечными зарядами.

Дано:

• Заряд \( q = 20 \, \text{нКл} = 20 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \)
• Сила, действующая на каждый заряд \( F = 10 \, \text{мН} = 10 \times 10^{-3} \, \text{Н} \)

Шаг 1: Формула для силы Кулона

Сила, действующая между двумя зарядами, описывается формулой: \[ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \] где:

• \( F \) — сила взаимодействия между зарядами,
• \( k \) — электростатическая постоянная (\( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)),
• \( q_1 \) и \( q_2 \) — величины зарядов (в нашем случае одинаковые, \( q_1 = q_2 = q \)),
• \( r \) — расстояние между зарядами (длина стороны треугольника).

Шаг 2: Рассмотрим силу, действующую на один заряд

На один из заряда в треугольнике действуют две силы от двух других зарядов. Если применять принцип суперпозиции, то результирующая сила будет направлена вдоль перпендикуляра из вершины треугольника к стороне.

Сила со стороны каждого из двух других зарядов: \[ F_{\text{одного}} = k \frac{q^2}{r^2} \] Поскольку две силы \( F_{1} \) и \( F_{2} \) действуют под углом \( 60^{\circ} \) друг к другу, результирующая сила \( F \) будет равна: \[ F = 2 \cdot F_{\text{одного}} \cdot \sin(30^{\circ}) \] где \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \).

Таким образом: \[ F = 2 \cdot \left(k \frac{q^2}{r^2}\right) \cdot \frac{1}{2} = k \frac{q^2}{r^2} \]

Шаг 3: Подставляем известные значения

Теперь у нас есть: \[ 10 \times 10^{-3} = k \frac{q^2}{r^2} \] Подставим значения: \[ 10 \times 10^{-3} = (8.99 \times 10^9) \frac{(20 \times 10^{-9})^2}{r^2} \]

Шаг 4: Упрощаем уравнение

Решим уравнение: \[ 10 \times 10^{-3} = (8.99 \times 10^9) \frac{400 \times 10^{-18}}{r^2} \] \[ 10 \times 10^{-3} = \frac{3596 \times 10^{-9}}{r^2} \] Переносим \( r^2 \) влево и умножаем обе стороны на \( r^2 \): \[ 10 \times 10^{-3} r^2 = 3596 \times 10^{-9} \] Разрешаем уравнение относительно \( r^2 \): \[ r^2 = \frac{3596 \times 10^{-9}}{10 \times 10^{-3}} = \frac{3596 \times 10^{-9}}{10^{-2}} = 359.6 \times 10^{-7} = 3.596 \times 10^{-5} \]

Теперь найдем \( r \): \[ r = \sqrt{3.596 \times 10^{-5}} \approx 0.006 \, \text{м} = 6 \, \text{мм} \]

Ответ

Длина стороны треугольника составляет approximately \( 6 \, \text{мм} \).