Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, начнем с формулы для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии. Сумма первых ( n ) членов ( S_n ) геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
где:
- ( b_1 ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — знаменатель прогрессии,
- ( n ) — количество членов прогрессии.
В нашем случае:
- ( S_5 = 605 ) (сумма первых пяти членов),
- ( b_1 = 5 ) (первый член),
- ( n = 5 ) (количество членов).
Подставим известные значения в формулу:
[
605 = 5 \frac{1 - q^5}{1 - q}
]
Теперь упростим это уравнение. Умножим обе стороны на ( 1 - q ):
[
605(1 - q) = 5(1 - q^5)
]
Раскроем скобки:
[
605 - 605q = 5 - 5q^5
]
Переносим все члены на одну сторону уравнения:
[
5q^5 - 605q + 605 - 5 = 0
]
Преобразуем:
[
5q^5 - 605q + 600 = 0
]
Теперь разделим все члены уравнения на 5:
[
q^5 - 121q + 120 = 0
]
Это полиномиальное уравнение 5-го порядка. Решим его с помощью проверки корней. Одним из возможных корней может быть ( q = 5 ):
[
(5)^5 - 121(5) + 120 = 3125 - 605 + 120 = 2640 \quad (\text{не корень})
]
Проверим ( q = 4 ):
[
(4)^5 - 121(4) + 120 = 1024 - 484 + 120 = 660 \quad (\text{не корень})
]
Проверим ( q = 3 ):
[
(3)^5 - 121(3) + 120 = 243 - 363 + 120 = 0 \quad (\text{корень})
]
Итак, ( q = 3 ) — это корень уравнения.
Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен:
[
\boxed{3}
]
