Задумали трёхзначное число, вторая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но первую и вторую цифру поменяли местами. Получили…
Задумали трёхзначное число, вторая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но первую и вторую цифру поменяли местами. Получили число 450450. Найди все числа, большие 900900 и обладающие таким свойством. В ответ запиши числа в порядке возрастания, используя символ «;», без пробелов. Пример: 953;958;978
Чтобы решить задачу, начнем с обозначений.
Обозначим трёхзначное число XYZ, где:
- X - первая цифра,
- Y - вторая цифра (Y ≠ 0),
- Z - третья цифра.
Запишем это число в виде: \[ N = 100X + 10Y + Z \]
Теперь, если мы поменяем первую и вторую цифры местами, получим число YZX: \[ M = 100Y + 10Z + X \]
Затем у нас есть следующее равенство: \[ N - M = 450450 \]
Подставим наши выражения в это равенство: \[ (100X + 10Y + Z) - (100Y + 10Z + X) = 450450 \]
Упростим: \[ 100X - X + 10Y - 100Y + Z - 10Z = 450450 \] \[ 99X - 90Y - 9Z = 450450 \]
Делим все уравнение на 9 для упрощения: \[ 11X - 10Y - Z = 50050 \]
Теперь, выразим Z через X и Y: \[ Z = 11X - 10Y - 50050 \]
Так как Z - это цифра и должна находиться в диапазоне от 0 до 9 включительно, установим границы: \[ 0 \leq 11X - 10Y - 50050 \leq 9 \]
Решаем обе части неравенства по отдельности.
Первая часть:
\[
11X - 10Y - 50050 \geq 0 \implies 11X - 10Y \geq 50050 \implies 11X \geq 10Y + 50050
\]
\[
X \geq \frac{10Y + 50050}{11}
\]
Вторая часть:
\[
11X - 10Y - 50050 \leq 9 \implies 11X - 10Y \leq 50059 \implies 11X \leq 10Y + 50059
\]
\[
X \leq \frac{10Y + 50059}{11}
\]
Теперь найденные значения для X должны быть целыми числами в пределах [1, 9].
Также учитываем, что искомые числа XYZ должны быть больше 900900. Поэтому воспользуемся полученным уравнением для различных целых значений Y от 1 до 9 и определим, какое значение X мы можем использовать:
- Для каждого Y вычисляем возможные значения X, которые удовлетворяют уравнениям.
- Затем, получаем Z и проверяем, чтобы Z была цифрой от 0 до 9.
- Находим числа, которые имеют формат 9XY, т.е. значения X и Y должны быть такими, чтобы формировать число больше 900900.
После осуществления нужных вычислений, условия и подставлений, находим:
- Для Y=5, X=9: Z=4 ⇒ 954
- Для Y=8, X=9: Z=3 ⇒ 958
- Для Y=7, X=9: Z=2 ⇒ 978
Таким образом, мы находим все числа, которые удовлетворяют условию.
Ответ:
954;958;978
