для кглов треугольника ABC верны равенства sin угла A + cos угла B= корень из 2 и cos угла A+ sin угла B= корень из 2. Тогда угол C треугольника будет равен

Чтобы найти угол C треугольника ABC при заданных условиях, давайте воспользуемся свойствами тригонометрических функций и свойствами треугольников.

1. Запишем условия задачи: \[ \sin A + \cos B = \sqrt{2} \] \[ \cos A + \sin B = \sqrt{2} \]

2. Из свойств тригонометрии: В треугольнике сумма всех углов равна \(180^\circ\): \[ A + B + C = 180^\circ \implies C = 180^\circ - A - B \]

3. Находим верхние границы для \( \sin \) и \( \cos \): Напомним, что максимальные значения функций: \[ \sin A \leq 1 \quad \text{и} \quad \cos B \leq 1 \] \[ \cos A \leq 1 \quad \text{и} \quad \sin B \leq 1 \]

4. Используя данные условия, подсчитаем: Если \( \sin A + \cos B = \sqrt{2} \), это возможно только если: \[ \sin A = \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Это соответствует углам \( A = 45^\circ \) и \( B = 45^\circ \).

5. Теперь рассмотрим второе уравнение: Аналогично \( \cos A + \sin B = \sqrt{2} \) также будет выполняться при: \[ \cos A = \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Это также соответствует углам \( A = 45^\circ \) и \( B = 45^\circ \).

6. Теперь подставим найденные значения обратно: Если \( A = 45^\circ \) и \( B = 45^\circ \), тогда: \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ \]

Таким образом, угол C в треугольнике ABC равен \(90^\circ\).