Четверо друзей сели на автобус, в котором всего три свободных места. Стоять в атобусе нельзя, поэтому кому-то придется сесть на чьи-то коленки. Сколько у друзей есть способов расположиться в автобусе, заняв все свободные места?

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ситуацию шаг за шагом. У нас есть четверо друзей (назовем их A, B, C и D) и три свободных места в автобусе. Поскольку места всего три, а друзей четыре, одному из них придется сидеть на коленках другого. Это означает, что один друг будет на коленях у другого, таким образом, мы можем рассматривать их как «двойку», сидящую на одном месте. 1. **Выбор пары для сидения на коленках:** Мы сначала выбираем двух друзей, чтобы один из них сидел на коленках у другого. Для выбора двух друзей из четырёх можно использовать комбинации. Количество способов выбрать 2 из 4 друзей можно вычислить по формуле: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество друзей, а \( k \) — количество выбираемых друзей. Здесь \( n = 4 \) и \( k = 2 \): \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \] 2. **Выбор, кто сидит на коленках:** Из выбранной пары мы можем назначить, кто будет сидеть, а кто – на коленках. Это можно сделать двумя способами, так как один из них сидит, а другой – на коленках. 3. **Расположение оставшихся друзей:** Теперь остаются ещё два других друга. Возможно, что один из них будет сидеть на одном из свободных мест, а второй — на другом. Поскольку у нас теперь 3 «места»: два обычных и одно «место для сидящего на коленках», мы можем расставить троих друзей (двух, которые сидят на местах, и одного, который сидит на коленках). На этом этапе количество возможных расположений для одного «места для сидящего на коленках» и по одному месту для каждого из оставшихся: - Два оставшихся друзья могут занять два свободных места, всего могут разместиться 2! = 2 способами. Теперь мы можем подвести итог и найти общее количество способов: \[ \text{Общее количество} = \text{Выбор пары} \times \text{Назначение кто на коленках} \times \text{Расположение оставшихся} \] \[ = 6 \times 2 \times 2 = 24 \] Таким образом, друзья могут расположиться в автобусе 24 различными способами.