Пятый и десятый члены геометрической прогрессии равны 0 , 003 и 50 , 421 соответственно. Найди сумму членов прогрессии,

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Определение параметров прогрессии

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии (q). Пусть:

• \( a \) — первый член прогрессии,
• \( q \) — знаменатель прогрессии.

Запишем данные члены

Согласно условию:

• Пятый член (\( a_5 \)) равен 0,003
• Десятый член (\( a_{10} \)) равен 50,421

Мы можем выразить пятый и десятый члены через первый: \[ a_5 = a \cdot q^4 \quad \text{(1)} \] \[ a_{10} = a \cdot q^9 \quad \text{(2)} \]

Подстановка значений

Теперь мы можем подставить известные значения: \[ a \cdot q^4 = 0,003 \quad \text{(1)} \] \[ a \cdot q^9 = 50,421 \quad \text{(2)} \]

Теперь мы можем выразить одно уравнение через другое.

Деление уравнений

Давайте разделим (2) на (1), чтобы избавиться от \( a \): \[ \frac{a \cdot q^9}{a \cdot q^4} = \frac{50,421}{0,003} \] Сократив \( a \) (при условии, что \( a \neq 0 \)): \[ q^5 = \frac{50,421}{0,003} \]

Теперь посчитаем это значение: \[ q^5 = 16807 \]

Извлечение корня

Теперь найдем \( q \), извлекая пятый корень: \[ q = 16807^{1/5} = 7 \]

Находим первый член

Теперь подставим \( q \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( a \). Используем уравнение (1): \[ a \cdot 7^4 = 0,003 \] Посчитаем \( 7^4 = 2401 \): \[ a \cdot 2401 = 0,003 \] Теперь найдем \( a \): \[ a = \frac{0,003}{2401} = \frac{3}{2401000} = \frac{1}{800333} \]

Сумма первых n членов прогрессии

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \]

Для нашей задачи найдем сумму первых 10 членов (\( S_{10} \)): \[ S_{10} = \frac{1}{800333} \cdot \frac{1 - 7^{10}}{1 - 7} \]

Посчитаем \( 7^{10} = 282475249 \): \[ S_{10} = \frac{1}{800333} \cdot \frac{1 - 282475249}{-6} \]

Вычислим: \[ = \frac{1}{800333} \cdot \frac{-282475248}{-6} \] \[ = \frac{282475248}{6 \cdot 800333} \]

Итог

Сумма первых 10 членов геометрической прогрессии равна: \[ S_{10} \approx 59 \quad \text{(после деления)} \]

Таким образом, сумма первых 10 членов прогрессии составляет приблизительно 59.