Реши систему уравнений: \begin{cases} 2x+y = 11, \\ 6x - y = 21. \end{cases} { 2x+y=11, 6x−y=21.
Решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 2x + y = 11, \\ 6x - y = 21. \end{cases} \]
Шаг 1: Подготовим уравнения к решению
Первое уравнение:
\[ 2x + y = 11 \]
Второе уравнение:
\[ 6x - y = 21 \]
Шаг 2: Изолируем одну из переменных
Предпочтем использовать первое уравнение, чтобы выразить \(y\) через \(x\):
\[ y = 11 - 2x \]
Шаг 3: Подставим найденное значение \(y\) во второе уравнение
Теперь подставим \(y = 11 - 2x\) во второе уравнение:
\[ 6x - (11 - 2x) = 21 \]
Шаг 4: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
\[ 6x - 11 + 2x = 21 \]
Соберем все \(x\) в одну сторону:
\[ 8x - 11 = 21 \]
Теперь добавим 11 к обеим сторонам уравнения:
\[ 8x = 32 \]
Шаг 5: Найдем значение \(x\)
Разделим обе стороны на 8:
\[ x = 4 \]
Шаг 6: Найдем значение \(y\)
Теперь, когда мы знаем \(x\), найдём \(y\) подставив \(x = 4\) в первое уравнение:
\[ y = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3 \]
Шаг 7: Запишем ответ
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ x = 4, \quad y = 3 \]
Шаг 8: Проверим найденные значения
Подставим \(x = 4\) и \(y = 3\) обратно в исходные уравнения, чтобы удостовериться, что они верны:
Для первого уравнения: \[ 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 \quad \text{(верно)} \]
Для второго уравнения: \[ 6(4) - 3 = 24 - 3 = 21 \quad \text{(верно)} \]
Таким образом, мы проверили, что решение корректно. Ответ: \(x = 4\), \(y = 3\).
