Высота равнобедренного треугольника равна 15 , 6 . Боковая сторона меньше основания на 15 , 6 . Найдите площадь этого треугольника.
Давайте разберем вашу задачу, шаг за шагом.
Дано:
- Высота равнобедренного треугольника \( h = 15,6 \) (единицы не указаны, предположим, что это см).
- Боковая сторона меньше основания на \( 15,6 \).
Обозначим:
- основание треугольника как \( b \).
- боковую сторону как \( a \).
Согласно условию, боковая сторона меньше основания на \( 15,6 \): \[ a = b - 15,6 \]
Определение свойств равнобедренного треугольника:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, делит основание пополам. Это означает, что половина основания будет равна: \[ \frac{b}{2} \]
Высота и половина основания могут быть использованы для нахождения сторон треугольника по теореме Пифагора: \[ a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \]
Шаг 1: Подставим известные значения в уравнение
Подставим \( h = 15,6 \) в уравнение: \[ a^2 = 15,6^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \]
Пока что имя боковой стороны \( a \) зависит от \( b \): \[ (b - 15,6)^2 = 15,6^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \]
Шаг 2: Раскроем скобки и упростим
Раскрываем скобки слева: \[ (b - 15,6)^2 = b^2 - 2 \cdot 15,6 \cdot b + 15,6^2 \] Заменяем: \[ (b - 15,6)^2 = b^2 - 31,2b + 243,36 \]
Правую часть сохраняем: \[ 15,6^2 = 243,36 \] \[ \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4} \]
Теперь можем записать уравнение: \[ b^2 - 31,2b + 243,36 = 243,36 + \frac{b^2}{4} \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Убираем 243,36 с обеих сторон: \[ b^2 - 31,2b = \frac{b^2}{4} \]
Умножаем все на 4, чтобы избавиться от дроби: \[ 4b^2 - 124,8b = b^2 \]
Шаг 4: Приводим подобные слагаемые
Переносим все в одну сторону: \[ 4b^2 - b^2 - 124,8b = 0 \] \[ 3b^2 - 124,8b = 0 \]
Шаг 5: Факторизуем
Выносим общий множитель: \[ b(3b - 124,8) = 0 \] Отсюда:
- \( b = 0 \) (не имеет смысла в данной задаче, так как основание не может быть равно нулю).
- \( 3b - 124,8 = 0 \) → \( 3b = 124,8 \) → \( b = \frac{124,8}{3} = 41,6 \).
Шаг 6: Находим боковую сторону
Теперь подставим найденное основание в уравнение для боковой стороны: \[ a = 41,6 - 15,6 = 26 \]
Шаг 7: Рассчитываем площадь треугольника
Площадь треугольника \( S \) можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \] Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 41,6 \cdot 15,6 \]
Шаг 8: Вычисления
Сначала умножим: \[ 41,6 \cdot 15,6 = 649,76 \] Теперь посчитаем площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 649,76 = 324,88 \]
Таким образом, площадь равнобедренного треугольника составляет 324,88 квадратных единиц.
