Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41, а периметр равен 90. Найди больший катет.

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза и периметр. Обозначим:

• Гипотенуза: \( c = 41 \)
• Периметр: \( P = a + b + c = 90 \)

где \( a \) и \( b \) — катеты.

1. Сначала выразим сумму катетов. \[ a + b + 41 = 90 \] Это можно упростить: \[ a + b = 90 - 41 = 49 \]

2. Теперь у нас есть система уравнений:

   • \( a + b = 49 \) (1)
   • \( a^2 + b^2 = c^2 = 41^2 = 1681 \) (по теореме Пифагора) (2)

3. Теперь выразим один катет через другой из уравнения (1): \[ b = 49 - a \]

4. Подставим \( b \) в уравнение (2): \[ a^2 + (49 - a)^2 = 1681 \]

5. Раскроем скобки: \[ a^2 + (49^2 - 2 \cdot 49 \cdot a + a^2) = 1681 \] \[ 2a^2 - 98a + 2401 = 1681 \]

6. Соберем все с одной стороны: \[ 2a^2 - 98a + 2401 - 1681 = 0 \] \[ 2a^2 - 98a + 720 = 0 \]

7. Упростим уравнение, разделив на 2: \[ a^2 - 49a + 360 = 0 \]

8. Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -49 \), \( c = 360 \): \[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961 \] \[ a = \frac{49 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{49 \pm 31}{2} \]

9. Находим корни: \[ a_1 = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40 \] \[ a_2 = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

10. Теперь подставим найденные значения \( a \) в \( b = 49 - a \):

    • Если \( a = 40 \), то \( b = 49 - 40 = 9 \).
    • Если \( a = 9 \), то \( b = 49 - 9 = 40 \).

Таким образом, больший катет равен 40.

Ответ: 40.