Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41, а периметр равен 90. Найди больший катет.

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза и периметр. Обозначим: - Гипотенуза: \( c = 41 \) - Периметр: \( P = a + b + c = 90 \) где \( a \) и \( b \) — катеты. 1. **Сначала выразим сумму катетов.** \[ a + b + 41 = 90 \] Это можно упростить: \[ a + b = 90 - 41 = 49 \] 2. **Теперь у нас есть система уравнений:** - \( a + b = 49 \) (1) - \( a^2 + b^2 = c^2 = 41^2 = 1681 \) (по теореме Пифагора) (2) 3. **Теперь выразим один катет через другой из уравнения (1):** \[ b = 49 - a \] 4. **Подставим \( b \) в уравнение (2):** \[ a^2 + (49 - a)^2 = 1681 \] 5. **Раскроем скобки:** \[ a^2 + (49^2 - 2 \cdot 49 \cdot a + a^2) = 1681 \] \[ 2a^2 - 98a + 2401 = 1681 \] 6. **Соберем все с одной стороны:** \[ 2a^2 - 98a + 2401 - 1681 = 0 \] \[ 2a^2 - 98a + 720 = 0 \] 7. **Упростим уравнение, разделив на 2:** \[ a^2 - 49a + 360 = 0 \] 8. **Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:** \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -49 \), \( c = 360 \): \[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961 \] \[ a = \frac{49 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{49 \pm 31}{2} \] 9. **Находим корни:** \[ a_1 = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40 \] \[ a_2 = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] 10. **Теперь подставим найденные значения \( a \) в \( b = 49 - a \):** - Если \( a = 40 \), то \( b = 49 - 40 = 9 \). - Если \( a = 9 \), то \( b = 49 - 9 = 40 \). Таким образом, больший катет равен **40**. **Ответ: 40**.