( � + 1 ) 4 − 2 ( � + 1 ) 2 + 1 = 0 (x+1) 4 −2(x+1) 2 +1=0 � 3 + 2 � 2 = 32 + 16 � x 3 +2x 2 =32+16x .

Давайте решим ваши уравнения шаг за шагом.

Первое уравнение:

\[ (x+1)^4 - 2(x+1)^2 + 1 = 0 \]

Шаг 1: Введем замену

Обозначим \( y = (x+1)^2 \). Тогда уравнение можно переписать как: \[ y^2 - 2y + 1 = 0 \]

Шаг 2: Преобразуем уравнение

Это квадратичное уравнение можно упростить: \[ (y - 1)^2 = 0 \]

Шаг 3: Найдем корни

Из этого вытекает, что: \[ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \]

Шаг 4: Вернемся к переменной \( x \)

Так как \( y = (x+1)^2 \), подставим обратно: \[ (x+1)^2 = 1 \]

Шаг 5: Решаем для \( x \)

Рассмотрим два случая:

1. \( (x+1) = 1 \) \[ x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0 \]

2. \( (x+1) = -1 \) \[ x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2 \]

Ответ для первого уравнения:

\[ x = 0 \text{ и } x = -2 \]

Второе уравнение:

\[ x^3 + 2x^2 = 32 + 16x \]

Шаг 1: Приведем все к одной стороне

Переносим все элементы влево: \[ x^3 + 2x^2 - 16x - 32 = 0 \]

Шаг 2: Попробуем найти корни рационально

Проверим, возможно ли подставить значения \( x \):

• Подставим \( x = -2 \): \[ (-2)^3 + 2(-2)^2 - 16(-2) - 32 = -8 + 8 + 32 - 32 = 0 \]

Таким образом, \( x = -2 \) является корнем.

Шаг 3: Разделим полином

Так как \( x = -2 \) корень, можем разделить полином \( x^3 + 2x^2 - 16x - 32 \) на \( (x + 2) \) с помощью деления многочленов: Мы можем использовать синтетическое деление или полное деление:

• В результате деления мы получаем: \[ x^2 - 16 \]

Шаг 4: Решим оставшееся уравнение

Теперь мы решаем: \[ x^2 - 16 = 0 \] Из чего следует: \[ x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \text{ или } x = -4 \]

Ответ для второго уравнения:

\[ x = -2, x = 4, x = -4 \]

Заключение

Решение двух уравнений дало следующие корни:

1. Для уравнения \((x+1)^4 - 2(x+1)^2 + 1 = 0\): \( x = 0 \) и \( x = -2 \).
2. Для уравнения \(x^3 + 2x^2 - 16x - 32 = 0\): \( x = -2, x = 4, x = -4 \).