Чтобы составить уравнение окружности, нам нужно знать центр окружности и радиус. Мы уже знаем, что центр окружности ( K(-9, 2) ) и есть точка ( N(-3, 6) ), которая принадлежит этой окружности.
Шаг 1: Вычисление радиуса окружности
Радиус окружности ( r ) можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Формула для расстояния между двумя точками ( A(x_1, y_1) ) и ( B(x_2, y_2) ) выглядит следующим образом:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
В нашем случае, точки ( K(-9, 2) ) и ( N(-3, 6) ) являются центр и точка на окружности, соответственно.
Давайте подставим координаты этих точек в формулу:
[
r = d(K,N) = \sqrt{((-3) - (-9))^2 + (6 - 2)^2}
]
Шаг 2: Подсчёт расстояния
Теперь будем считать:
- ( (-3) - (-9) = -3 + 9 = 6 )
- ( 6 - 2 = 4 )
Подставляем в формулу расстояния:
[
r = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}
]
Можно упростить ( \sqrt{52} ):
[
\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}
]
Таким образом, радиус окружности равен ( 2\sqrt{13} ).
Шаг 3: Запись уравнения окружности
Уравнение окружности с центром в точке ( (x_0, y_0) ) и радиусом ( r ) записывается в следующем виде:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]
Подставляем значения для центра ( K(-9, 2) ) и радиуса ( r = 2\sqrt{13} ):
[
(x + 9)^2 + (y - 2)^2 = (2\sqrt{13})^2
]
Теперь вычисляем ( (2\sqrt{13})^2 ):
[
(2\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 = 52
]
Шаг 4: Окончательное уравнение
Подставляем все значения в уравнение:
[
(x + 9)^2 + (y - 2)^2 = 52
]
Итак, уравнение окружности с центром в точке ( (-9, 2) ) и проходящей через точку ( (-3, 6) ) выглядит так:
[
(x + 9)^2 + (y - 2)^2 = 52
]
Это окончательная форма уравнения окружности.
