Для решения задачи нужно определить угол ( KNP ) в выпуклом четырехугольнике ( MNKP ), зная угол ( MNK = 87^\circ ) и угол ( MPK = 74^\circ ).
Мы знаем, что в любом четырехугольнике сумма внутренних углов равна ( 360^\circ ). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение для углов четырехугольника ( MNKP ):
[
\angle MNK + \angle MPK + \angle KNP + \angle NMP = 360^\circ
]
Сначала подставим известные значения:
[
87^\circ + 74^\circ + \angle KNP + \angle NMP = 360^\circ
]
Теперь сложим известные углы:
[
161^\circ + \angle KNP + \angle NMP = 360^\circ
]
Теперь, чтобы найти ( \angle KNP + \angle NMP ):
[
\angle KNP + \angle NMP = 360^\circ - 161^\circ
]
[
\angle KNP + \angle NMP = 199^\circ
]
Теперь важно учесть, что ( MN = MK = MP ). Это означает, что треугольник ( MNK ) и треугольник ( M KP ) являются равнобедренными. Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, мы можем обозначить угол ( NMP ) как ( x ) (поскольку это равнобедренный треугольник), тогда угол ( KNP ) тоже будет равен ( x ). Таким образом, имеем:
[
x + x = 199^\circ
]
[
2x = 199^\circ
]
Теперь делим обе стороны на 2:
[
x = \frac{199^\circ}{2}
]
[
x = 99.5^\circ
]
Это значение ( x ) является углом ( NMP ). Тогда угол ( KNP ) также составляет ( 99.5^\circ ).
Таким образом, угол ( KNP ) равен:
[
\boxed{99.5^\circ}
]
