Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условие
Нам дано значение (\cos a = -\frac{\sqrt{10}}{10}) и угол (a) находится в третьем квадранте, где (180° < a < 270°). Необходимо найти (\tan a).
Шаг 1: Находим (\sin a)
Используем основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Подставим значение (\cos a):
[
\sin^2 a + \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1
]
Это превращается в:
[
\sin^2 a + \frac{10}{100} = 1
]
Сократим:
[
\sin^2 a + 0.1 = 1
]
Теперь найдем (\sin^2 a):
[
\sin^2 a = 1 - 0.1 = 0.9
]
Теперь найдём (\sin a):
[
\sin a = \pm \sqrt{0.9} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}
]
Поскольку угол (a) находится в третьем квадранте, (\sin a < 0). Таким образом,
[
\sin a = -\frac{3\sqrt{10}}{10}
]
Шаг 2: Находим (\tan a)
Теперь, когда у нас есть значения (\sin a) и (\cos a), можем найти тангенс:
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}
]
Подставим найденные значения:
[
\tan a = \frac{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}}
]
Упрощаем:
[
\tan a = \frac{3\sqrt{10} / 10}{\sqrt{10} / 10} = 3
]
Ответ
Таким образом, (\tan a = 3).
Заключение
Мы нашли значение тангенса угла (a) используя его косинус и основное тригонометрическое тождество. Угол находился в третьем квадранте, что определило знаки синуса и косинуса. Если будут дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!
