В равнобедренном треугольнике ABC , с основанием AC проведена биссектриса AD . Найдите градусную меру ∠ ABC , если ∠ BAD = 20 ∘ .

Для решения задачи начнем с корректного понимания, что мы имеем дело с равнобедренным треугольником ABC, в котором проведена биссектриса AD.

1. Дано:

   • Треугольник ABC равнобедренный, значит \(AB = AC\).
   • Угол \( \angle BAD = 20^\circ \) — это угол, который образует биссектрисa AD с основанием AC.
   • Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, то есть \( \angle ABC = \angle ACB \).

2. Найдем угол \( \angle ADB \):

   • Так как AD является биссектрисой угла \( \angle BAC \), то угол \( \angle DAC \) тоже равен \( 20^\circ \).
   • Угол \( \angle BAC \) равен сумме углов \( \angle BAD \) и \( \angle DAC \): \[ \angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ. \]

3. Сумма углов в треугольнике:

   • В любом треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \).
   • Пусть угол \( \angle ABC \) равен \( x \). Поскольку треугольник ABC равнобедренный, углы \( ABC \) и \( ACB \) равны: \[ \angle ABC = \angle ACB = x. \]
   • Тогда в треугольнике ABC: \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ. \]
   • Подставим известные значения: \[ 40^\circ + x + x = 180^\circ. \] Упростим уравнение: \[ 40^\circ + 2x = 180^\circ. \]

4. Решаем уравнение:

   • Выразим \( 2x \): \[ 2x = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ. \]
   • Найдем \( x \): \[ x = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ. \]

5. Ответ:

   • Градусная мера угла \( \angle ABC \) равна \( 70^\circ \).

Таким образом, угол \( \angle ABC \) противостоящего основанию AC равен \( 70^\circ \).