Чтобы решить задачу, давайте начнем с формулировки, что у нас есть несколько точек на плоскости, и мы соединяем каждую пару точек отрезком. Мы хотим узнать, сколько точек отметила Маша, если количество отрезков, которые она нарисовала, равно 21.
Шаг 1: Формулировка задачи
Количество отрезков, соединяющих ( n ) точек, можно вычислить по формуле:
[
C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( C(n, 2) ) — это число сочетаний ( n ) по 2. Эта формула рассчитывает количество способов выбрать 2 точки из ( n ).
Шаг 2: Установим уравнение
Нам известно, что количество отрезков равно 21, следовательно, мы можем записать уравнение:
[
\frac{n(n-1)}{2} = 21
]
Шаг 3: Умножим уравнение на 2
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
n(n-1) = 42
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
n^2 - n - 42 = 0
]
Чтобы решить его, используем формулу решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -42 ).
Шаг 5: Подставим значения в формулу
Считаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169
]
Теперь находим ( n ):
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 13}{2}
]
Шаг 6: Находим корни
Теперь найдем два возможных значения для ( n ):
- ( n_1 = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7 )
- ( n_2 = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6 ) (это значение не подходит, так как количество точек не может быть отрицательным)
Таким образом, мы получаем только одно подходящее решение:
[
n = 7
]
Итог
Маша отметила 7 точек на плоскости.
